초딩들의 꿈 - Farey Series

수학에는, Freshman's dream(대딩 1학년의 꿈)이라는 것이 있다. 표수가 p인 유한체에서는 다음의 수식이 성립한다.

[math](a+b)^p = a^p+b^p[/math]

초딩들이 분수의 덧셈을 배울 때, 여러가지 어려운 점들이 등장하게 된다. 통분을 해야 하기 때문이다. 그런데 만약에 아래와 같은 분수의 덧셈이 참이라면 얼마나 좋을까!

[math]\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}[/math]

연산 [math]\oplus[/math] 를 잠시 이곳에서는 '초딩들의 꿈의 분수덧셈'이라고 부르자.

Order가 n인 Farey Series F_n 이라는 것은, 0부터 1사이의 기약분수들 중에서, 분모가 n 이하인 녀석들을 순서대로 배열한 것이다. 작은 경우의 예를 들자면,

F1 = {0⁄1, 1⁄1}
F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}
F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}

눈을 부릅뜨고 관찰을 해보면, 여기에는 재미있는 패턴들이 많이 숨어있는데, 오늘은 한 가지만 언급하고 넘어가자. '초딩들의 꿈'이라 부를만한 것은 바로 이것이다.

주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 '초딩들의 꿈의 분수덧셈'을 통해서 얻어진다.

예를 들자면, 위에서 굵은 글꼴로 표시한 세 수를 보면,

[math]\frac{1}{5}\oplus\frac{2}{7}=\frac{1+2}{5+7}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}[/math]

어느 연속된 셋을 집어내어 해봐도, 이 결과는 성립한다. '초딩들의 꿈'이라 부를만하지 않은가? 분수 덧셈이 어려운 초딩들아, 부디 꿈을 잃지 말자.

그런데 이게 왜 참인지 궁금한 사람... ?

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3 Responses to “초딩들의 꿈 - Farey Series”

  1. yy says:

    저요~ :)

  2. 나비 says:

    흥미롭네요!

  3. pythagoras says:

    yy, 나비님/ 곧 후속편을 작성토록 하겠습니다