리만의 제타함수 (7) : 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식

글 싣는 순서
리만의 제타함수 (1)
리만의 제타함수 (2) : 수의 체계
리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가
리만의 제타함수 (4) : 지수법칙
리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장
리만의 제타함수 (6) : 자연상수

지난 글들을 통해, 지수를 실수까지 확장했고, 자연상수 e도 정의할 수 있었다. 이제 지금까지 인내의 대가로, 열매를 딸 수 있는 때가 되었다. 이번 글을 중간 휴식처로 삼은 후, 이 시리즈는 본격적인 리만의 제타함수로 달려간다. 이 시리즈를 얼마나 깊이 또는 얼마나 오래 지속할 지는 오직, 독자의 반응과 나의 변덕에 의존할 뿐이다.

본론에 들어가기 앞서, 오일러라는 수학자의 매력을 느껴 보고 싶은 사람은 얼마 전에 올린 동영상 하나를 참조하기 바란다. 오일러의 왼쪽 눈. 수학적인 면으로나, 인간적인 면으로나, 우리 모두의 스승이 될만한 인물이다. 오일러의 공식이란, 다음 수식을 말한다.

지금까지의 과정을 통하여, 우리는 실수 [math]x[/math]에 대하여, [math]e^x[/math]를 정의할 수 있게 되었다. 이제 우리 앞의 과제는 지수[math]x[/math]를 실수를 넘어 복소수까지 확장하는 것이다.

복소수지수를 정의하기 위해서, 실수범위까지 정의된 지수함수에 대해 복습을 해 보자.

지수함수 f는 다음과 같은 성질들을 만족한다. 이 부분을 눈을 번쩍 뜨고 봐주길 바란다.

1. [math]f(0)=1[/math]
2. [math]f(x+y)=f(x)f(y)[/math]
3. f는 미분가능

두번째 성질을 지수함수의 가장 중요한 성질로 보존하고 싶다면, 지수함수를 복소수까지 확장하는 데는 다음을 만족시킬 필요가 있다.

[math]e^{x+iy}=e^x e^{iy}[/math]

따라서, 실수 x에 대하여, 아래의 수식을 정의하는 것으로 목표를 좁힐 수 있다.

[math]e^{ix}[/math]

위에 언급한 지수함수의 성질이 중요한 이유는, 이 세가지 성질이 역으로 지수함수들을 규정하기 때문이다. 다시 말해, 이 세가지 성질을 만족시킬 수 있는 함수는 오직 지수함수 뿐이다. 이 세가지 성질을 만족시키는 함수를 찾으라고 한다면, 어떤 양수 [math]\alpha[/math]가 있어서,

[math]f(x)={\alpha}^x[/math]

를 만족시키게 된다. 이 경우,

[math]\ln \alpha=c[/math]로 두면, [math]f(x)={\alpha}^x=e^{cx}[/math] 가 만족된다.

그리고, 이 지수함수를 미분하게 되면,

[math]\frac{df}{dx} =ce^{cx}=cf(x)[/math]

가 만족된다.

여기에서 기억해야 할 사실은 단 하나, 모든 지수함수는 [math]e^{cx}[/math]의 형태로 쓸 수 있고, [math]c[/math]는 미분을 할 때, 앞에 상수로 튀어나오는 숫자라는 것이다.

이제 오일러의 공식을 유도하기 위한 모든 준비는 끝났다.

[math]f(x)=\cos x+ i\sin x[/math]

라고 정의된, 실수 x 를 넣으면 복소수 값을 뱉어내는 함수를 생각해 보자. 이 함수는 다음 성질들을 만족한다.

1. [math]f(0)=\cos 0+ i\sin 0=1[/math]
2. [math]f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=cos (x+y)+i sin (x+y)=f(x+y) [/math]
3. [math]\cos x,\sin x [/math]이 미분가능하므로 [math]f [/math] 역시 미분가능

그저 삼각함수와 허수를 결합시켰을 뿐인데, 지수함수만이 만족시킬수 있는 함수가 신비스럽게도(?) 만들어졌다.

이 함수를 미분해보자.

[math]\frac{df}{dx} =-\sin x +i \cos x=i(\cos x+ i\sin x)=if(x)[/math]

지수함수를 복소수 범위까지 확장하는데 있어서, 실수범위까지 정의되었던 지수함수가 만족시키는 성질과 미적분학의 규칙들을 보존하고 싶다면, 이제까지의 논의를 통해 우리에게 주어지는 선택지는 단 하나.

[math]f(x)=\cos x+ i\sin x=e^{ix}[/math]

다시 말해, 실수 [math]x[/math]에 대하여, [math]e^{ix}[/math] 를 정의하고 싶다면, 위에 놓인 선택지가 유일하다는 것이다. 지수함수를 복소수 범위까지 넓히고 싶다면, 이 정의를 따르는 것 말고는 방법이 없다. 그러니 이 정의를 채택하자.

이제 오일러의 공식은 그냥 따라 나오게 된다.

만약, [math]x=\pi[/math] 라면,

[math]f(\pi)=e^{i\pi}=\cos \pi+ i\sin \pi=-1[/math]

따라서,

[math]e^{i\pi}+1=0[/math]

이렇게 하여, 원하던 바 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식이 얻어졌다. 수학에서 가장 중요하게 여겨지는 다섯개의 상수가 결합하여 만들어내는 이 수식은, 수학이라는 학문에 있는 아름다움의 상징으로 흔히 언급된다.

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18 Responses to “리만의 제타함수 (7) : 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식”

  1. JD says:

    It really is the beauty of MATH!! I am looking forward to seeing the next one.

  2. 나비 says:

    오늘도 동영상 강의가 있나 쭉 내려봤는데... ㅠㅠ
    요새 정치문제로 고민이 많아 시간 내시기 어려우리라 짐작하기 어렵지 않네요.

    오일러의 공식을 'e^iㅠ=-1'(여기선 특수문자 쓸 줄 모르겠네요)이라 하지 않고,
    왜 'e^iㅠ+1=0'으로 나타내나요?
    예전 포스트에서 수학은 가급적 단순하게 표현한다고 얘기하셨던데...

  3. Gongdol says:

    f(x) = cos(x) + i sin(x) 라고 정의하면 위의 성질들을 만족시키면서 모든 아귀가 맞아들어가는 것은 알겠는데요.
    저렇게 f(x)를 정의하는 것이 유일하다는 것은 왜 그런거죠?
    (포스팅에 나와있는데 제가 이해를 못하는 것일수도... >.<)

  4. 살림 says:

    쥔장의 변덕을 제어하기 위한 글입니다.^^
    감사하면서 흥민진진하게, 재밌게 보고 있습니다.

  5. hoon says:

    참 멋진 설명입니다 !!!
    어떤 물리학적인 의미도 있는 걸까요??
    대학교때부터 10년동안 의문을 품고 살았는데 아무도 가르쳐주지 않았습니다. 다들 그냥 그런 것이다 라는 말만...

  6. pythagoras says:

    JD/ 나라꼴만 괜찮아도, 더 자주 쓰는데 ㅠ.ㅠ

  7. pythagoras says:

    나비님/ 시간도 시간인데, 사실 동영상이 더 좋은지도 잘 모르겠어서요 ^^;; 굳이 e^iㅠ=-1 라고 쓰지 않고, e^iㅠ+1=0 라고 쓰는 이유는, 기원은 모르겠지만 그것이 하나의 전통처럼 굳어져 있기 때문인데, 좀더 논리적인 이유를 대 보자면, 중요한 상수, e,i,ㅠ,1,0 을 등장시키면서, 또 수학의 중요한 연산들, 더하기, 곱하기, 지수도 함께 등장시킬 수 있기 때문이 아닐까 생각이 드네요.

  8. pythagoras says:

    Gongdol님/ e^ix 라는 함수를 어떻게 정의할지는 모르는 것이 지금의 주어진 상황입니다. 그러나 이 함수가 만족시켜야 할 성질에 대하여 생각을 해 본다면, 위에서 말한 세 가지 성질들이 만족되는 동시에, 미분을 할 경우, i e^ix가 되어야만 합니다.

    그런데 위에서 보다시키 f(x) = cos(x) + i sin(x)는 이 성질들을 모두 만족시키고 있습니다.

    미분할 경우, 앞에 나오게 되는 숫자는 지수함수가 무엇인지를 결정하는 숫자이므로, 이 두 함수는 같은 함수여야 한다는 것이 논리입니다.

  9. pythagoras says:

    hoon님/ 보통은 무식하게 멱급수를 통하여 정의를 하는데, 한번 그것을 피할수 있는 설명을 해보고 싶은게 이리 되었습니다. 뭔가 느끼셨다니, 감사할 따름입니다.

    물리학적인 의미에 대해서는, 잘 모르겠습니다. 물리학에서도 많이 사용은 될테지만.

  10. 나비 says:

    그렇군요.
    어찌되었든, e^iㅠ+1=0이 더 아름답게 느껴져요!

    생각해 보니 수학을 동영상으로 만들 이유가 별로 없어 보이네요.
    더구나 모니터로 보는 칠판은 너무 작아 글자가 잘 보이지 않더라구요.

    아무튼 멋진 시도였습니다.

  11. pythagoras says:

    나비님/ 동영상을 만들 필요는 있다고 생각을 하고 있어요. 다만 문제는 제가 아직 동영상을 제대로 다루지를 못합니다. 화질은 저 때문에 그런 것이구요. 그리고 혼자 쌩쑈같은것도 좀 어렵지요. 몇명의 관객을 놓는다면, 더 나을것 같기도 하구요. 더 좋은 방법을 모색해 보겠습니다.

  12. pythagoras says:

    살림님/ 좋은 반응입니다. ^^

  13. Anonymous says:

    매일 들어오기만 하고 처음으로 코멘트다는 사람입니다. ^^;
    혹시 로그인 같은 기능은 없나요?
    앞으로는 가끔 코멘트도 달아보려고 하는데, 매번 코멘트 달때마다 이름 쓰고 메일주소 쓰고 해야하는건가 해서요~
    그리고 혹시 블로그에 손님(?)이 글 쓸수 있는 장소는 없나요?
    처음으로 다는 코멘트가 질문뿐이네요.. ^^; 죄송합니다.
    좋은하루되세요~

  14. pythagoras says:

    익명/ 글쎄요. 블로그에 손님이 글 쓸 수 있는 장소는 코멘트가 있지 않을까요? 음... 본인의 블로그가 있다면, 트랙백을 통해 링크를 걸 수 있겠구요. 코멘트를 남기면 쿠키가 저장되는지 아닌지 저도 잘 모르겠네요. 저는 항상 관리자 상태라서...

  15. groo says:

    저기요 그니까,,, 이 글에서 요지는 a^0=1로 정의 했던 것처럼
    e^(ix)를 정의하는 겁니까? 다시말해서,, a^0은 어떤 값이라고 말할 수 없는데 우리가 1로 정한거고 마찬가지로 e^i도 sin1+icos1이라고 정하는 거랑 마찬가지라 이 말인가요??

    지수의 본래의 '의미'의 관점에서 본다면 2^5는 32라는 값을 가지잖아요.. 근데 2^0이나 2^-2 같은걸 쓰고 싶어서 지수를 '함수'로 바꾼거고 이제 복소수로 쓰고 싶어서 그냥 옛날 지수함수를 바꾸고 e^(ix)라는 걸 새롭게 '정의' 한거죠??
    그러니까 실제로 e^i라는 것의 값은 존재하는지 안하는지 그리구 어떤 값인지 전혀 알 수가 없는데 우리가 그냥 함수를 새롭게 뜯어고치구 쓰려다 보니까 e^i의 값이 cos1+isin1로 된거죠?

    그니까 머라해야할까... 오일러 공식에서의 쓰인 '지수'는 원래 옛날 사람들이 곱셈을 편하게 표기하려고 표기한 본래의 의미가 아니라 '함수'이고 그걸 지수에서 유래된거라서 지수함수라고 부르는건가요? 제가 이해하는게 맞나요?

    너무 길게썼네요. 글 감사히 잘보고 있는 고등학생입니다.. 좋은글 감사해요

  16. groo says:

    다시 읽어보니 정말 두서없이 썼네요. 죄송합니다.
    하나만 더 쓰자면..

    만약에 옛날에 어떤 사람이 저 방법이 아니라, 지수함수를 더 좋고 간결한 방법으로 정의할 수 있었다면 저런 정의가 아니었을 수도 있겠네요? 어쩌면은 우리 지구 말고 외계에 사는 외계인들(존재한다면)그들이 정의한 지수라던지 미분이라던지 그런 체계의 정의들이 우리랑 다르다면 결국 그들은 복소수 지수를 정의하기 위해서 다른 지수함수를 쓰고 있을수도 있지 않을까요?

  17. pythagoras says:

    groo/ 처음보는 경우에는 이것이 아무렇게나 정의된 것이 아닌가 생각할수도 있을 겁니다. 하지만 정의는 아무렇게나 한다고 쓸모있는 개념이 되는 것이 아닙니다. 공부를 더 하게 되면, 지수함수 하나에 접근할수 있는 여러가지 방법들이 꽉 맞물려 있다는 것을 알수 있게 됩니다. 가령 미분방정식을 통한 접근이라던지, 멱급수를 통한 접근이라던지 말이죠. 복소지수함수의 정의는 수학적으로 매우 자연스러운 정의이기 때문에, 다른 누구라고해도 같은 발견을 하고, 같은 방식으로 정의되었을 것으로 생각할수 있습니다.

  18. 성도 says:

    학교에서 영화 보고서 쓰라는 말에 오일러의 공식이 이해가 되지않아 고민하고 있었는데
    덕분에 멋진 보고서를 쓸 수 있었습니다.