리만의 제타함수 (4) : 지수법칙

이 글은 다음 글들에 이어지는 시리즈의 네번째 글이다.

글 싣는 순서

리만의 제타함수 (1)
리만의 제타함수 (2) : 수의 체계
리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가

지금까지 한 것을 간략하게 요약해 보자. 첫번째 글에서 소수정리와 리만가설을 언급하면서, 앞으로 리만의 제타함수를 정의하겠다는 뜻을 밝혔다. 리만의 제타함수를 정의하기 위해서는, 복소수함수를 알아야 하기 때문에, 두번째 글에서는 중고등학교 때 배우는 수의 체계를 복습했고, 세번째 글에서 실수가 무엇인지 논하여 보았다.

리만의 제타함수까지 가는 길이 너무 멀게 느껴질 분들을 위해 잠시 말해두자면, 이제 얼마 가지 않아서 박사가 사랑한 수식, 오일러의 공식

[math]e^{i\pi}+1=0[/math]

의 의미를 알 수 있게 될 것이다.

오늘은 중고딩 수학의 지수법칙을 복습해보자. 혹시나

[math]2^3=8[/math]

라는 표현이 가물가물하고, 어렵게 느껴진다면, 더 앞으로 진행하는 것은 의미도 없고 불가능. 이 정도는 안다고 믿고 진행한다. 이제 지수법칙이란 무엇인가?

지수법칙 (자연수버전)

실수 a>0에 대하여, m과 n 이 자연수일 때,
[math]a^m \times a^n=a^{m+n}[/math]

여기까지는 그다지 어렵지 않다. 이제 저기에 쓰여져 있는 '자연수'라는 단어를 '정수'로 바꾸어도 성립하도록 하고 싶다. 그러기 위해서는 먼저, 지수를 정수범위에서도 정의해 주어야 한다. 그래서 이렇게 정의를 한다.

[math]a^0=1[/math]
자연수 n에 대하여,
[math]a^{-n}=\frac{1}{a^n}[/math]

2를 0번 곱하면 0이지 왜 1이냐. 이것이 순진한 중학생들을 한번쯤 괴롭히는 질문이다. 답은 바로 지수법칙에 있다. 지수법칙을 정수에서도 계속 만족시켜주고 싶다면 [math]2^2 \times 2^0=2^{2+0}=2^2[/math] 에서 보듯이, [math]2^0=1[/math]가 유일한 선택지인 것이다.

만약에 그래도 끝까지 [math]2^0=0[/math]으로 정의를 하고 싶다면, 사실 그래도 된다. 하지만 이럴 경우, 지수법칙을 표현하기 위해서 또다른 표기방법을 찾아야 할 것이다. 즉 그러한 표기법에 따르는, 불편함과 괴로움은 선택한 사람이 감수하는 것이다. 수학자들은 언제나 가장 적은 양의 표현을 통해, 가장 많은 양의 의미를 전달하려는 사람들이다. 앞으로 진행되는 지수법칙의 일반화를 보면, 이 말의 의미를 좀더 이해할 수 있을 것이다.

[math]2^{(-3)}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}[/math]

이건 또 왜 이렇게 정의를 해주어야 할까? 지수법칙을 만족시켜 주고 싶다면, 역시 선택의 여지가 없기 때문이다. 즉,

[math]2^{3} \times 2^{(-3)}=2^{3+(-3)}=2^0=1[/math]

따라서,

[math]2^{(-3)}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}[/math]

이제 아까 썼던 자연수 버전의 지수법칙을 새로 쓸 수 있다.

지수법칙 (정수버전)

실수 a>0에 대하여, m과 n 이 정수일 때,
[math]a^m \times a^n=a^{m+n}[/math]

사실 자연수버전에서 달라진 것은, 자연수라는 단어를 정수로 바꿔준 것 밖에 없다. 여기까지의 작업에서 가장 어려운 것은, [math]a^0= 1[/math]과 같이 정의를 잘하는 것이었다. 이 지점에서 정의라는 것도 아무렇게나 하는 것이 아니라는 사실을 배워야 한다.

이제 이 지수법칙을 유리수까지 확장하고 싶다. 그러면 또 유리수 지수에 대해서도 정의를 해주어야 한다.

자연수 n 에 대하여

[math]a^{\frac{1}{n}} [/math]

를 어떻게 정의하는게 좋을지 약간 고민이 된다. 친숙한 예를 하나 생각해 보자.

[math]2^{\frac{1}{2} [/math]

는 정의가 뭐였드라? 이것은 바로 루트 2, 즉 제곱해서 2가 되는 양수인 실수이다.

[math]a^{\frac{1}{n}} [/math]

도 그렇게 정의를 하자. 즉 n 제곱해서 a가 되는 양수인 실수로 정의를 한다는 것이다. 그러면 왜 이렇게 정의하는 것이 좋은가?
답은 역시 지수법칙에 있다. 지수법칙을 유리수로 확장시켜 주기 위해서는,

[math]b=a^{\frac{1}{n}} [/math]

라고 정의했다면,

[math]b^n=a^{\frac{1}{n}+\cdots + \frac{1}{n}}= a^{\frac{1}{n}\times n}=a[/math]

를 만족시켜 주어야 한다. 즉 b는 n제곱해서 a가 되는 실수가 될 수밖에 없는 것이다.

이렇게 정의를 하면, 이제 유리수 지수를 정의할 수 있다.
자연수 n과, 정수 m에 대하여,

[math]{(a^{\frac{1}{n}})}^m [/math]

는 이제까지 얘기한 것으로 이미 정의가 되었다.

따라서,

정수 m과 자연수 n에 대하여,
[math]a^{\frac{m}{n}}= {(a^{\frac{1}{n}})}^m [/math]

로 정의하는 것이 가장 좋은 선택이다. 이제 이 정의들을 통하여, 지수법칙은 유리수까지 확장이 되었다.

지수법칙 (유리수버전)

실수 a>0에 대하여, m과 n 이 유리수일 때,
[math]a^m \times a^n=a^{m+n}[/math]

만약 지금까지의 작업에서 무엇이 정의이고 무엇이 그에 따른 결과인지 정확히 구분할 수 있다면, 잘 이해한 것이다. 이제 한 발을 더 내딛으려 한다. 지수법칙의 '유리수'를 '실수'까지 확장하고 싶은 것이다.

지금까지 한 작업을 통하면,

[math]2^{1.41}=2^{\frac{141}{100}}[/math]

가 무슨 뜻인지를 알 수 있다.

이제 실수지수는 어떻게 정의해야 할까? 가령

[math]2^{\sqrt{2}}[/math]

는 무엇이라고 해야 할까? 다음 포스팅이 올라올 때까지 잘 생각해 보자. 먼저 말하자면, 이 작업은 지금까지의 작업들과 질적으로 다르다. 그리고 잊지 말자.

[math]e^{i\pi}+1=0[/math]

를 정의하기 위해서는, 지수를 자연수를 넘고, 정수를 넘고, 유리수를 넘고, 실수를 넘어, 복소수까지 확장해야 하는 것이다.

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2 Responses to “리만의 제타함수 (4) : 지수법칙”

  1. Anonymous says:

    호호 아까 방에서 쓰던 글을 완성했구나;

    뭐 completion과 지수함수의 continuity에 관해서도 설명하려면
    (5)번도 금세 흘러가겠군.. 이 시리즈는 몇 번까지 나오려나? ㅎㅎ

  2. hoon says:

    잘 보고 있습니다. 다음 편이 많이 궁금해요...