리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가

유리수가 아닌 실수라는 말로는 무리수가 무엇인지 전혀 알수가 없다는 것을 언급하였다. 실수가 무엇인지 모르기 때문이다. 그러므로 무리수를 더 직접적으로 기술하는 방법을 찾아봐야 한다. 기억을 되짚어 보면, 중학교에서 무리수를 순환하지 않는 무한소수라고 말하는 때가 있다. 그리고 여기에 덧붙여 유리수의 성질로는 순환하는 무한소수라는 말을 쓴다.

쉽게 흘려보내기 쉬운 이 말들이 사실은 훌륭한 정의를 담고 있다. 위의 말들을 잘 살펴보면, 실수라는 것은 결국 무한소수라는 말과 같다는 것을 알수 있다. 무리수와 유리수를 통털어 실수라고 했는데, 무리수는 순환하지 않는 무한소수이고, 유리수는 순환하는 무한소수라면, 실수가 바로 무한소수 아닌가?

중고등학교에서는 바로 여기까지 하고, 더 깊이 들어가지 않는다. 그래서 다음과 같은 질문이 중고등학교를 마치고 나서도 알듯말듯한 문제로 남는 것이다.

[math]0.9999999\cdots = 1.000000\cdots[/math]

이런 문제가 생기는 이유는 "어떤 무한소수들을 같은 실수로 볼 것인지" 언급을 안 하기 때문이다. 실수를 더 완벽하게 정의하자면, 무한소수를 하나 써내려가면 하나의 실수가 표현된다는 사실과 함께, 어떤 경우에 두 개의 무한소수가 같은 실수가 된다는 관계까지 포함시켜주어야 한다. 이렇게 문제가 점점 다루기가 힘들어지기 때문에, 중고등학교에서의 실수의 정의는 결국은 수직선위의 한 점이라고 하는 기하학적 직관에 의존하게 된다.

그러나 그것으로도 사실은 충분하다. 실수의 정의라는 것도, 사실은 19세기말, 20세기초에야 완전해졌기 때문이다. 그럼에도 그 이전의 수학자들은 이미 충분히 실수가 무엇인지 알고 있었고, 다룰줄도 알았다. 엄밀한 정의만 없었을 뿐이다.

오늘 여기서 머리에 담아야할 하나의 사실 '실수=무한소수' 가 되겠다. 무한소수를 하나 정의한다는 것은, 몇째자리에 어떤 숫자가 오고, 몇째자리에 어떤 숫자가 오고 하는 것을 정해주는 규칙을 하나 정한다는 것과 똑같은 것이다.

예를 들어, 원주율을 나타내는 3.14159265358979323846...를 생각해 보자. 이미 오래전부터 원주율의 근사값을 원하는 만큼 알수있는 방법들이 있어왔는데, 이것은 곧 몇째자리에 어떤 숫자가 오는가 하는 규칙이 있다는 말과 똑같은 말이다. 그러므로 원주율은 실수이다. ?!?!

그러면 이 원주율을 표현하는데 있어, 이 숫자들이 어딘가에서부터 정말 순환을 하는지, 안하는지 알아야 유리수인지, 무리수인지 말을 할 수 있을 터인데, 순환하지 않는다가 답이다. 이건 사실 매우 어려운 문제이고, 1761년이 되어서야 증명이 되었다.

사실은 오늘 미적분학 연습시간에, 아이들한테 적분의 근사값 구하는 세가지 방법을 가르쳐주고 문제 하나를 내준다음, 그룹별로 풀어보라 시켰는데, 결과가 아주 잘 나왔다. 맨 아래의 결과는 소위 Simpson's rule이라는 것을 적용한 것. 숫자 다섯개만 더하면 이 정도가 된다.

[math]\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx=\frac{\pi}{4}[/math]

원주율이 3.14 정도라는 것을 남이 말해줘서 알기만했지, 자기손으로 계산기 두드려서 얻어본 것은 아마도 처음이었으리라. 이러한 결과를 보는 때가 바로, 수학의 체험이라 부를만한 순간이라 할 수 있을 것이다.

이어지는 동영상은 2006년 7월 24일 EBS 지식채널 '끝없는 3.14'

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One Response to “리만의 제타함수 (3) : 실수란 무엇인가”

  1. 김현진 says:

    거의 처음으로 내용의 100분의 1 정도는 알 수 있는 수학 관련 글을 쓰셨네요 ㅎㅎ;;