리만의 제타함수 (2) : 수의 체계

리만의 제타함수(1)에서 말한대로, 지금 우리는 리만의 제타함수를 정의하는 여정에 있다. 물론 이 글은 일반인을 염두에 두고 쓰여지는 것이므로, 중고딩때 배운 수학교과과정을 돌아보며, 잘근잘근 하나하나 씹어가면서 가도록 하겠다. 이 여행의 어느 지점에서 나는 박사가 사랑한 수식, 오일러의 공식도 설명할 수 있을 것이다. 오일러의 공식이란,

[math]e^{i\pi}+1=0[/math]

을 말한다.

이 오일러의 공식이나 더 나아가, 리만의 제타함수라는 것을 이해하기 위해서는 복소수라는 녀석을 알아야 한다. 그리고 복소수를 알려면 그 전에, 실수라는 것을 알아야 한다. 그러면 이제 나는 중고교수학에 있는 모두 쉬쉬했던 비밀 하나를 말하려 한다. 그것은 바로 중고등학교 수학 교과과정에서는 '실수'가 무엇인지 제대로 안 가르쳐준다는 것이다!!

나한테 지금 한국에서 사용되는 중고등학교 교과서가 있을리 만무하지만, 대충 검색을 해보니, 중학교 3학년 수학교과 과정에 '무리수와 실수'라는 단원이 있는 것 같다. 그리고 고등학교 1학년에 아마 다시 이걸 다루는 부분이 있을 것이다. 검색으로 아래와 같은 표 하나를 찾았다. 일반적인 수학 참고서에 정도에 실려있을만한 도표이다.

기억이 가물가물하실 분들을 위하여 설명을 해 보면, 유리수는 분모가 0이 아닌 분수 (정수)분의(정수) 꼴로 나타낼수 있는 수를 말한다. 유리수 = 분수 O.K. 그리고 무리수는 유리수가 아닌 수이다. 유리수와 무리수를 통털어 '실수'라 한다. 실수가 그거구만. 끄덕끄덕. 이거면 다 된거 아닌가? 생각이 들 것이다. 그런데 이건 지금 심각한 결함이 있다.

유리수까지는 구체적으로 무엇이 유리수인지 아니까, 안다고 쳐주자. 그러나 "무리수는 유리수가 아닌 수"이다라고 하면, '무리수'가 무엇인지 알수 있는가?

가령 우리가 '여자'의 정의를 '남자'가 아닌 '사람'이라고 하면, 그것은 이해가 된다. 왜 이해가 되냐하면, '사람'이라는 것을 이미 알고 있기 때문이다.

그런데 "무리수는 유리수가 아닌 수"라고 할 때, 우리가 과연 '수'라는 것을 '사람'이란 말을 알듯이 잘 알고 있는 상태에서 사용하고 있는 것인가? 무엇을 정의한다는 것은 언제나 이미 잘 알고 있는 말로 해야하는 것이다. 위의 설명을 다시 읽어보면, 유리수와 무리수를 통털어 '실수'라고 하고 있으므로, 여기서의 '수' = '실수' 라는 것을 알수 있다. 그러니 결국 위의 무리수에 대한 언급은 '무리수는 유리수가 아닌 실수'라는 말과 동일한 말이라는 것을 알수 있다.

그런데 '실수'라는 것이 무엇인지에 대해서는 위의 설명은 아무것도 한 것이 없다.

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