리만의 제타함수 (1)

다음 동영상은 요즘 재밌게 듣고 있는 싸부의 정수론 '영어몰입강의' 의 한 장면이다. 뭘 쓰고 있는 지는 몰라도, 뭔가 웃기는 것은 느낄수 있죠?

칠판에 쓰고 있는 숫자는,
Skewes' number 라 불리는 것으로,[math]\pi(x) > li(x) [/math] 를 처음으로 만족시키는 자연수의 대략적 크기이다.

여기서 [math]\pi(x) [/math] 는 x 이하의 소수의 개수를 나타내는 함수(원주율 [math]\pi[/math] 와는 아무 상관 없음) 이고,

[math] li(x) = \int_0^x \frac{dx}{\ln x} [/math]

로 정의된다.

소수는 2,3,5,7,11,13,17, ... 와 같이 1과 자신만을 약수로 갖는 자연수를 말한다. 이러한 소수는 매우 오래전부터 수학의 중요한 관심사였는데, 19세기말에 소수의 분포와 관련하여, 소수정리(prime number theorem)라는 것이 증명되었다. 소수정리는 x 가 굉장히 클때, x 이하의 소수의 개수는 대략,

[math]\frac{x}{\ln x}[/math]

정도라는 것을 말해준다.

다른 관점으로 말하자면, 이 소수정리는 큰 자연수 N 이 있을때, N 이하의 자연수가 소수일 확률은 대략

[math]\frac{1}{\ln N}[/math]

라는 것을 말하기도 한다. 이렇게 확률적으로 생각을 해 보면,

[math] li(x) = \int_0^x \frac{dx}{\ln x} [/math]

역시 x이하의 소수의 개수 [math]\pi(x) [/math] 에 근접할 것이라고 생각할 수 있다.

수학의 미해결 문제 중에 '리만가설(Riemann hypothesis)'이라는 것이 있다. 풀게 되면, 큰 상금을 타게되며, 역사에 길이길이 이름을 남기게 되는 150년 묵은 악명높은 문제이다. 리만가설은 리만의 제타함수에 대한 추측으로, 제타함수 [math]\zeta(s) [/math]라는 것이 있다. 이 녀석은 [math]s[/math]가 1이 아닌 복소수일 경우, 복소수값을 주는 함수이다. [math]s=-2,-4,-6, \cdots[/math]와 같이 짝수이며 음수인 정수는 제타함수의 해, 즉 리만제타함수의 값을 0으로 만든다. 그러면 다른 해들은 어떤 것들이 있는가 하는 것이 질문인데, 리만가설이란 바로, 이 녀석들의 실수부가 모두 [math]\frac{1}{2}[/math]가 된다는 것으로, 아래 그림에서 점선으로 나타나고 있는 직선위에 놓여있다는 것이다.

그렇다면, 이 리만가설이 왜 중요한가? 하는 것을 물을 수 있는데, 역사적으로 이 리만가설은 위에서 언급한 소수정리와 연관되어 있는데, 리만가설은

[math]\left|\pi(x) - li(x) \right| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \, \ln(x), \qquad \text{for all } x \ge 2657. [/math]

와 동치로, 리만 제타함수의 해들이 [math]\left|\pi(x) - li(x) \right|[/math] 의 크기를 통제하고 있다는 것이고, 다시 말하자면, 소수의 분포와 밀접하게 연관되어 있다는 것을 말해준다.

그렇다면 리만의 제타함수란 무엇인가? 지금까지 그 얘기를 안 했다. 바로 이 질문에 대한 답을 앞으로 여러 개로 나누어 쓰도록 하겠다.

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6 Responses to “리만의 제타함수 (1)”

  1. JD says:

    아... 브리티쉬 액센트... -_-;;;; 어려워. 여기선 좀체로 들어보기 힘든...

  2. 차노 says:

    근데 이거 허락 받고 올리는 거냐?

  3. pythagoras says:

    네 영국 캠브리지에서 왔어요

    차노형 또 왜 까칠하게 그래.... -_-

  4. 이상일 says:

    철구~ 잘지내남? 일 시작한지 2주째여. 아직 한건없지만

    회사에서 야후메신저밖에안돼..

    추가해줘 lignaseel4gsc 가 내 아이디여

    콜미콜미 ㅋㅋ

  5. 김현진 says:

    와..
    그냥 영어도 저는 잘 못 알아듣는데
    이런 전문적인 수학 강의를 제대로 알아듣는데는 얼마나 걸리셨는지요?

  6. oksky23 says:

    리만 가설이라는 책을 보고 우연히 이곳에 들르게 되니 엄청 기쁘군요. 감사합니다.