Archive for December, 2007

좀툴 작품전 - DNA, Buckminsterfullerene(C60), Geodesic Dome

Tuesday, December 18th, 2007

며칠 전 주문했다던 좀툴이 배달와서, 좀 갖고 놀았습니다. 갖고 놀아본 소감 - 이 장난감은 위대합니다. -_- 양키넘들 이런 장난감을 만들다니, 역시 세계 최강의 과학의 나라 답습니다. 이런걸 보면 대통령이 좀 후지다고 해서, 나라 전체가 후지다고 할 수 있는 건 아니에요. 뭐만 있으면 입에다 넣어볼 나이는 지난, 똘망똘망한 조카들에게 선물하면 좋을 것 같네요. 주변에 개인적으로 아는 수학선생님들에게도 이런 물건의 존재를 알려주시면 좋겠습니다. 말로만 듣고 그림으로만 보던 녀석들을 이렇게 직접 눈앞에서 모형으로 만들어보니, 자연의 아름다움을 새삼 느끼게 됩니다. 그리고 어디에나 존재하는 수학. 역시 수학은 과학의 여왕, 킹왕짱...

그럼 한번 감상들을 해보세요.

작품 1 : DNA

(more...)

즐거운 세미나 준비

Monday, December 17th, 2007

다음 학기에 할 등각장론의 세미나 준비를 시작하고 있다. 어떻게 진행이 될지 아직은 그림이 잡혀있지 않지만, 나의 제안으로 시작된 일인만큼 책임감이 크다.

아는 것이 거의 없는 상태이지만, 가지고 있는 자료를 총동원하여 이 분야의 큰 그림을 나름대로 그려보고 있다. 중요한 어휘와 논문 및 정리들을 파악해가면서, 서로 어떻게 관련이 되어 있는지를 맞추어보고 있다. 백지상태에서 시작된 작업이었지만, 시간이 조금씩 지나면서 좀더 세분화된 토픽들이 수면위로 떠오르고 있다. 그냥 나열을 해 보자면,

Vertrx Operator Algebras
Unitary irreducible representations of Virasoro algebra
Kac determinant formula
GKO construction
Orbifold construction
BRST quantization
No-Ghost theorem
WZW model
Conformal Blocks and Verlinde formula

등등... 어휘들이 참 생소하죠? 점점 수리물리의 영역으로 다가가고 있다. 공부가 이러한 방향으로 전개될 것이라고는 학부생때는 전혀 상상하지 못했었다. 준비를 시작하고보니, 왠지 다음 학기가 인생의 한 전환점이 될 것 같은 기분이 들어온다.

옛날 학교가는 길 버스에서 교차로 쪼가리를 읽다가, 다음과 같은 뜻의 말을 하고 있는 글을 본 적이 있었다.

학문을 하다보면 꼭 처음에 가려고 마음먹었던 곳에 도달하기보다는, 그곳과는 다른 어딘가에서 뒤를 돌아보니, 여기도 참 와볼만한 곳이었다는 것을 깨닫게 되는 경우가 많다.

얼마 지나지 않아 이렇게 될지 모르겠다. 수학에서 어떤 분야를 공부하고 계십니까? 수리물리를 공부합니다.

라마누잔과 내 공부

Sunday, December 16th, 2007

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7

대중문화 속의 라마누잔

Sunday, December 16th, 2007

라마누잔(1887-1920) 은 인도의 전설적인 천재 수학자이다. 정규교육을 거의 받지 않았으나, 독창적인 연구로 무수히 많은 업적을 남겼다. 조만간 내가 하는 공부와는 얼마나 인연이 있는지 써볼 생각이다.

오늘 본 뉴스기사 하나에서 이런 것이 있었다. 내년도의 연극 소개였는데,

영국 연출가 사이먼 맥버니와 씨어터 컴플리시테는 인도의 천재 수학자 라마누잔의 삶을 그린 작품 '사라져가는 숫자'(LG아트센터)를 선보인다. (기사링크)

LG아트센터 홈페이지를 찾아가보니, 내년 11월에 공연 예정이다. 안내문을 읽어보니 이렇다.

영국의 현대 연극을 대표하는 연출가, 사이먼 맥버니와 씨어터 컴플리시테가 인도의 천재 수학자 라마누잔의 시공간을 초월한 삶과 죽음의 미스터리를 그린 작품 <사라져가는 숫자>로 첫 내한공연을 갖는다. 영국 최고의 수학자 하디에 의해 발견되어 수많은 수학이론을 연구하다 32세의 나이로 요절한 천재 수학자 라마누잔은 수학연구를 위해 캠브리지로 간 27세부터 인도로 돌아가 세상을 달리한 32세까지 겨우 5년 동안, 발표한 공식만 3000여개가 넘는 금세기 최고의 천재 수학자이다. 사이먼 맥버니는 우리의 삶이 과거와 현재, 그리고 미래에까지 서로 어떤 영향을 주고 받는지, 순간과 영원의 의미는 무엇인지에 대해 인도의 라마누잔과 영국의 하디, 그리고 현대를 살아가는 한 남자와 수학자인 그의 연인과의 삶을 절묘하게 교차해 가며 신비하게 풀어나간다.
로베르 르빠주의 <안데르센 프로젝트>에서 보여지는 시 공간을 넘나드는 극적 기법과 <굿 윌 헌팅>, <뷰티풀 마인드> 의 비운의 천재 수학자들의 삶을 연상시키는 <사라져가는 숫자>는 100년의 시간과 세 대륙을 넘나드는 이야기를 통해 현재를 사는 우리들에게 삶의 진리가 무엇인지를 전한다. 수학과 예술, 테크놀로지와 휴머니즘의 완벽한 만남이 보여주는 경탄과 감동의 드라마 <사라지는 숫자>, 사이먼 맥버니가 왜 현대 연극의 기수가 되었는지 확인할 수 있는 기회가 될 것이다. (공연안내)

호기심이 생겨 위키피디아를 찾아보니, 연극 뿐만 아니라 그를 소재로 하여 지금 만들어지고 있는 영화만 두개라는 것.

영화 굿윌헌팅에서도 라마누잔이 언급되는 장면이 있다. 수학과 교수가 심리학자였던가하는 친구에게 주인공을 부탁하는 곳이다. 학교에서 잡일하고 있던 주인공을 라마누잔에 비유한다.

(more...)

Hurwitz의 정리: Compact Riemann Surface의 Automorphism group

Thursday, December 13th, 2007

수학에서 하나의 정리를 한편의 예술작품으로 보는 관점은, 공부하는데 유용하다는 것을 점점 느낀다. 수학을 대하는 자세도 이렇게 된다.

아 오늘 시간도 많고 심심한데 재밌는 영화나 한편볼까.

아 오늘 시간도 많고 심심한데 재밌는 정리나 하나 배워볼까.

오늘 간략하게 리뷰할 정리는 Compact Riemann Surface의 Automorphism Group에 대한 Hurwitz의 정리이다. 이렇게 아기자기하고 섬세하면서도 동시에 스펙타큘러하고 또 파워풀한 정리를 자라나는 학부생들에게 보여줘야 하는데, 작금의 황폐한 한국의 학부 수학교육현실을 생각한다면, 참으로 안타까운 마음을 금할수 없다.

Hurwitz의 정리

The order of the automorphism group of a compact Riemann surface M of genus g > 1 is bounded by 84(g-1).

증명의 아웃라인은 다음과 같다. (Riemann Surfaces, By Hershel M. Farkas, Irwin Kra Chapter V) 이 아웃라인에 대한 증명은 Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint By Gareth A. Jones, David Singerman 에 잘 나와있다. 내가 학부생일때는 서울대 중앙도서관에 없었는데, 지금은 어떨지 모르겠다.

hurwitz.JPG

간략하게 답을 적자면,

(1) by the Uniformization theorem
(2) essentially by the monodromy theorem
(3) the image of a compact set under a continuous map is compact.
(4),(5) (fundamental domain for a subgroup) = union of several copies (same as index) of (fundamental domain for the original group)

이렇게 하고 보니, 학부생들에게 가르치기는 다소 무리가 있어 보이기도 한다. 우리가 공산당도 아니고... -_-

(2)와 (5)를 보면, 문제는

[math]Area(U/\Gamma)[/math], [math]Area(U/N(\Gamma))[/math]

을 구하는 것으로 귀결된다.

[math]Area(U/\Gamma)=2\pi (2g-2)[/math]

이것은 Gauss-Bonnet theorem

때문에 그러하다.

이제

[math]Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}[/math]

을 보이는 일이 남았다. 이 부분이 바로 이 작품에서 가장 깜찍하면서도 매우 중요한 부분.

사람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 hyperbolic geometry에서는 변의 길이를 알필요가 전혀 없다. 각도가 모든 것을 결정한다!!! 삼각형의 세 각이 [math]\alpha, \beta, \gamma[/math]로 주어져 있다면

[math] Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma[/math]

이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,

[math]1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}) [/math]

를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.

정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.

그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는

[math] \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}[/math]

로 주어진다. 이를 (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는

[math] Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}[/math]

한편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도

[math] \frac{\pi}{42}[/math]

의 두배 이상은 되어야 한다. 즉

[math]Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}[/math]

이렇게 해서 Hurwitz's theorem 대략 증명끝. 이쯤에서 잔잔한 감동이 밀려와야 하는데...