Hurwitz의 정리: Compact Riemann Surface의 Automorphism group

수학에서 하나의 정리를 한편의 예술작품으로 보는 관점은, 공부하는데 유용하다는 것을 점점 느낀다. 수학을 대하는 자세도 이렇게 된다.

아 오늘 시간도 많고 심심한데 재밌는 영화나 한편볼까.

아 오늘 시간도 많고 심심한데 재밌는 정리나 하나 배워볼까.

오늘 간략하게 리뷰할 정리는 Compact Riemann Surface의 Automorphism Group에 대한 Hurwitz의 정리이다. 이렇게 아기자기하고 섬세하면서도 동시에 스펙타큘러하고 또 파워풀한 정리를 자라나는 학부생들에게 보여줘야 하는데, 작금의 황폐한 한국의 학부 수학교육현실을 생각한다면, 참으로 안타까운 마음을 금할수 없다.

Hurwitz의 정리

The order of the automorphism group of a compact Riemann surface M of genus g > 1 is bounded by 84(g-1).

증명의 아웃라인은 다음과 같다. (Riemann Surfaces, By Hershel M. Farkas, Irwin Kra Chapter V) 이 아웃라인에 대한 증명은 Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint By Gareth A. Jones, David Singerman 에 잘 나와있다. 내가 학부생일때는 서울대 중앙도서관에 없었는데, 지금은 어떨지 모르겠다.

hurwitz.JPG

간략하게 답을 적자면,

(1) by the Uniformization theorem
(2) essentially by the monodromy theorem
(3) the image of a compact set under a continuous map is compact.
(4),(5) (fundamental domain for a subgroup) = union of several copies (same as index) of (fundamental domain for the original group)

이렇게 하고 보니, 학부생들에게 가르치기는 다소 무리가 있어 보이기도 한다. 우리가 공산당도 아니고... -_-

(2)와 (5)를 보면, 문제는

[math]Area(U/\Gamma)[/math], [math]Area(U/N(\Gamma))[/math]

을 구하는 것으로 귀결된다.

[math]Area(U/\Gamma)=2\pi (2g-2)[/math]

이것은 Gauss-Bonnet theorem

때문에 그러하다.

이제

[math]Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}[/math]

을 보이는 일이 남았다. 이 부분이 바로 이 작품에서 가장 깜찍하면서도 매우 중요한 부분.

사람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 hyperbolic geometry에서는 변의 길이를 알필요가 전혀 없다. 각도가 모든 것을 결정한다!!! 삼각형의 세 각이 [math]\alpha, \beta, \gamma[/math]로 주어져 있다면

[math] Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma[/math]

이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,

[math]1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}) [/math]

를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.

정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.

그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는

[math] \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}[/math]

로 주어진다. 이를 (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는

[math] Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}[/math]

한편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도

[math] \frac{\pi}{42}[/math]

의 두배 이상은 되어야 한다. 즉

[math]Area(U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}[/math]

이렇게 해서 Hurwitz's theorem 대략 증명끝. 이쯤에서 잔잔한 감동이 밀려와야 하는데...

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