Archive for November, 2007

퀄 후기

Thursday, November 29th, 2007

오늘 아침에 퀄 시험(qualifying exam)을 봤다. 시험은 싸부를 비롯한 수학과 교수 3명과 물리과 교수 1명으로 구성된 퀄 위원회를 앞에 두고, 내가 선택한 세 과목의 주제들에 대한 구술시험으로 진행됐다.

자세한 안습&떡실신 이야기는 너무나 가슴이 아프므로 생략.

나는 정말 교수들 앞에서 19세기 정통파 오소독스 클래시컬 복소해석의 정신을 보여주고 싶었고, 할 수 있을거라 믿었다. 그러나 그런 나의 보잘 것 없는 자부심은,


리차드 보쳐즈
.
그의 자코비 신공에 결국 떡실신. 그러나 아무튼 과정에 상관없이 결과는 합격 ㅠ.ㅠ. 이제 그와 오피셜 싸부-제자 관계로 들어간다.

퀄 D-6

Friday, November 23rd, 2007

추수감사절 연휴로 학교가 텅 빈 가운데 나의 퀄시험은 6일 앞으로 다가왔다. 좀처럼 긴장이 안되더니, 오늘 아침에 눈을 뜨니까 이제 좀 정신이 들기 시작한다.

글을 쓰려다 막상 생각해 보니, 싸부가

Construct E8 and their fundamental modules

이러면 완전 떡실신인데...헉 공부해야겠다.

뇌는 대수기하를 몰라도 눈은 대수기하를 안다 - 원근법

Monday, November 19th, 2007

머리도 식힐겸 해서 을 좀 읽다가 르네상스 시대의 화가들이 당대에 개발한 강력한 툴인 원근법을 이용해 바닥의 타일을 어떻게 그렸는지 알게 됐다. 대강 이렇게 한다는거.

참 쉽죠?

그 시대의 네덜란드 화가 베르미어의 작품을 보면, 그가 바닥 타일 그리기를 얼마나 좋아했는지 살펴볼 수 있다.

사실성 있게 그려진 타일이 그냥 장식이 아니라, 원근법이라는 툴을 위한 실험이자 장치라 여겨진다. 배운대로 따라해보니 타일그리기도 재밌다. 이런 것만 초중딩때 알았어도, 미술 시간을 좀더 좋아할수 있었을텐데 안타깝다. 수학적으로 이런 타일그리기가 옳다는 것은, 데자르그의 정리가 보장해준다. 역시 수학은 과학의 여왕. 수학이 킹왕짱.

호기심이 생겨 더 검색을 해 보다가, 원근법의 테크닉을 설명하고 있는 미술 교과서를 슬쩍 보게 됐다. The Theory and Practice of Perspective

원근법을 이용해 원을 그리는 부분을 보니,

Although the circle drawn through certain points must be a freehand drawing, which requires a little practice to make it true, it is sufficient for ordinary purposes and on a small scale, but to be mathematically true it must be an ellipse.

원근법을 이용해 그린 원은 언제나 타원이 된다는 것이다. 수학적으로 이것은 아마도 파스칼의 정리가 보장해 주지 않을까 싶다. (증명은 여기)

타원 맞네. 주변에 타원이 이렇게 넘쳐나고 있었다는 것을 새삼 깨닫게 됐다. 타원은 언제나 우리곁에 있었다. 뇌는 대수기하를 몰라도 눈은 대수기하를 안다.

이 글을 대수기하 때문에 고생하고 있는 동료들에게 바친다.

슈워츠-크리스토펠 변환을 보며

Monday, November 19th, 2007

복소해석학의 리만 사상 정리 에 의하면, 아래 그림과 같은 단위원과 별모양(pentagram) 사이에는 전단사 복소해석함수가 존재한다.

unitdisc.JPG = pentagram.JPG

슈워츠-크리스토펠 변환은 그 함수를 구체적으로 표현하는 방법을 알려준다. 아래 함수가 바로 단위원을 별모양으로 바꿔주는 함수다.

[math]
f(z) = \int_0^z \frac{(1-z^5)^{\frac{2}{5}}} {(1+z^5)^{\frac{4}{5}}} dz
[/math]

요즘이야 이런 종류의 수학을 가르치는 것을 그다지 중시하지 않고, 학생들을 허약하게 키워서 이런걸 직접 쓸수 있다는 것이 굉장히 충격적일수 있을 것 같은데, 옛 수학자(?)들은 저런걸 저렇게 명확하게 표현할 줄을 알았다. 장인의 숨결이 느껴지지 않는가.

19세기 중반에 리만으로부터 시작하여, 세기말 Uniformization theorem를 향해 달음박질치는 푸앵카레클라인까지, 이 눈부시게 화려하고 풍요로운 복소함수론을 가르치지 않고서야, 어떻게 제대로 된 수학자들을 길러낼 수 있겠는가. 학부생들에게 딱 한 과목만 가르치라고 한다면, 복소함수론을 가르치겠다.

유한단순군 시간을 말하다

Friday, November 9th, 2007

19세기, 20세기를 지나며 수학과 물리학이 말하고 있는 바는 대칭 혹은 symmetry의 개념이야말로 인류가 일군 지식을 통합할 수 있게 하는 가장 강력한 열쇠라는 것이다. 19세기와 20세기를 지나면서 별거에 들어갔던 수학과 물리학이 다시 만날 수 있는 장을 마련하고 있는 것도 바로 이것이다. 수학에 군론(group theory)이라는 분야가 바로 이 대칭이라는 개념을 수학적으로 기술하는 언어를 제공해 준다.

정이십면체는 3차원 상에서 60가지의 대칭을 허용한다. 정삼각형 20개를 붙여서 만들수 있다. 뾰족하게 튀어나온 각 점을 싹둑 잘라내면 축구공이 된다. 이 정이십면체의 대칭을 기술하는 군을 수학에서는 A5라 부른다. 가장 작은 크기의 비가환 유한단순군이다. 60은 일분 속에 담긴 초의 수, 한시간에 담긴 분의 수이다.

학교뒷산 MSRI라는 수학연구소에 세워진 조각이다. 이 녀석은 Klein's quartic curve라 불리는 곡면이다. 조각의 바닥에 있는 그림을 보면, 며칠전 올린 에셔 포스팅의 그림과 비슷한 녀석을 볼 수 있다. 비유클리드 기하학의 세계에 살고 있는, 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체로서, 168가지의 대칭을 갖는다. 이 군을 수학에서는 PSL(2,7) 이라 부른다. A5 다음으로 크기가 작은 비가환 유한단순군이다. 168은 7x24, 일주일에 담긴 시간의 수다.

그 다음 비가환 유한단순군은 A6, 크기는 360이다. 이 것은 아마도 일년에 담긴 날수의 근사값 ??

계속되는 시퀀스는, 504, 660, 1092, 2448, 2520, 3420, 4080 ... (Orders of non abelian simple groups)