Archive for October, 2007

에셔와 비유클리드 기하학

Monday, October 29th, 2007

에셔는 위와 같은 그림을 그렸다. 그림의 제목은 Circle Limit III

위키피디아에 에셔에 관한 엔트리에는 이런 부분이 있다.

Around 1956, Escher explored the concept of representing infinity on a two-dimensional plane. Discussions with Canadian mathematician H.S.M. Coxeter inspired Escher’s interest in hyperbolic tessellations, which are regular tilings of the hyperbolic plane. Escher’s works Circle Limit I-IV demonstrate this concept. In 1995, Coxeter verified that Escher had achieved mathematical perfection in his etchings in a published paper. Coxeter wrote, "[Escher] got it absolutely right to the millimeter."

수학자 콕세터의 전기인 "King of Infinite Space: Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry"를 읽어보면, 실제로 에셔가 이런 류의 그림을 그리는 데 있어서, 콕세터가 쓴 기하학 교과서 "Introduction to Geometry"에서 많은 영감을 받았다는 얘기가 나온다. 물론 거기에 나온 수학은 하나도 이해를 못했고, 책에 나온 그림이 그에게 영감을 주었다고 했다.

맨 마지막 그림이 정확히 에셔 그림의 백본이다. 초중고등학교에서 배우는 기하학의 평면은 똑같이 생긴 정삼각형, 정사각형, 정육각형으로밖에 채울수없지만, 비유클리드기하학의 세계에서는 정팔각형으로도 채울수 있다. 우리의 눈에는 저 팔각형들이 크기가 밖으로 갈수록 작아지는 것처럼 보이겠지만, 저 세계에서는 모두 크기가 같다!!!

이상한 나라의 앨리스는 앨리스의 엄마가 앨리스에게 역사책을 읽어주는 장면으로 시작된다. 앨리스 졸다깨서 외친다.

"In my world, the books would be nothing but pictures."

나도 예쁜 그림이 많은 19세기 수학을 사랑해!!

오늘의 토크 - 나도 UCC

Thursday, October 25th, 2007

대학원생들을 대상으로 발표를 하나 했다. 제목은

[math]e^{\pi\sqrt{163}[/math] is an almost-integer.

163.JPG

예전에 포스팅했던 숫자 163, 숫자 163(2), 숫자 163(3),숫자 163(4) 시리즈의 대학원생 버전이다. 부제를 붙이자면, An Introduction to Elliptic Curves with Complex Multiplication 이라 하면 될까.

다음은 발표중 이제 필요한 도구를 모두 준비하고, 결과를 뿜어내는 마지막 5분되겠다.

싸부와의 대화

Monday, October 22nd, 2007

오늘은 싸부의 다른 제자 한명과 함께 싸부에게 가서, 다음 학기에 등각장론(conformal field theory)에 대한 세미나를 하나 계획해보고 싶다고 했다. 그랬더니 'it's a wonderful idea' 라면서 좋다고 한다. 그래서 준비해서 발표할만한 토픽들을 좀 뽑아달라고 부탁했더니 자기 역시 등각장론의 정의조차 모른다면서 고민을 시작한다.

싸부는 이거하라 저거하라 먼저 시키는 적이 없다. 그러나 물어보면 답해준다. 다정한 보살핌을 바라는 사람이라면 불만을 가질 수도 있겠지만, 사실 이런 것이 원칙적으로 그다지 잘못된 방향은 아니다. 제대로 된 학자가 되려면, 나름대로의 관점과 관심이 진화하는 방향에 따라 성장을 할 수 있어야 한다. 이거 하라 시켜주고, 저거 하라 시켜주기 바라면서 스스로 커가는 법을 배우지 못한다면, 나중에 학위받고 쓸모없는 사람이 되기 쉽다. 수학은 집단적 지성의 산물인 동시에 각자의 마음속에 있는 것 아니겠는가.

시키지도 않는 세미나를 먼저 하겠다고 나서는 것은 이런 것이다. 먼저 시키는 법이 없으니, 할 일을 내가 만들어서 가져간다. 그러나 사실 나는 이것이 해야할 일인지는 아는데 어디서 시작해야 할지, 어떻게 해 나가야 할지는 모르는 상태다. 그러므로 토픽을 뽑아달라 부탁하는 것이다. 그러면 싸부는 분명히 고민할 것이고, 여러가지 제안을 줄 것이다. 그러면 최악의 경우라도 엉뚱한 방향으로 가지는 않게 된다. 이러면 자유방임형의 싸부 밑에서도 사실은 나 자신을 안전한 가이드 속에 둘 수 있게 된다.

중요한 것은 인간을 이해하는 것이다. 꼭 내가 원하는 대로 다른 사람이 존재할 수는 없다. 변화시키는 것도 많은 경우 힘든 일이다. 인간의 행동패턴을 이해하고, 미리 나에게 우호적인 환경을 조직하라. 이것이 요즘 나의 화두이다.

박사가 사랑한 수식 - 오일러 탄생 300주년 포스팅

Sunday, October 21st, 2007

수학자 중에 오일러라는 분이 계시다. 이 분이 1707년 4월 15일에 태어나셔서, 올해가 그 300주년이 되는 해이다.

박사가 사랑한 수식이란 영화가 있다. 박사가 사랑한 수식은 오일러의 공식이었는데, 아래는 그 영화 속의 장면이다. 위에 것칠판에 쓰여진 식이 바로 (수많은) 오일러의 공식 (중의 하나), 그리고 아래 장면에는 오일러의 얼굴이 보인다.

The.Professor.And.His.Beloved.Equation.2006.DVDRip.XviD.AC3.CD2-JUPiT.avi_001996496.jpgThe.Professor.And.His.Beloved.Equation.2006.DVDRip.XviD.AC3.CD2-JUPiT.avi_002013847.jpg

어느새 영화에까지 출연하신 슈퍼스타 오일러와 그의 공식

[math]e^{i \pi} +1 = 0[/math]

이 공식은 대학교 수학과에서 2학년쯤에 복소해석학이라는 과목을 들으면 배울 수 있다. 그러나 오일러의 공식 하나를 알자고 이제 와서 모두 복소해석학을 들을 수는 없는 노릇 아닌가? 나처럼 수학이나 공부하며 띵까띵까 한가하게 팔자가 핀 사람들이 아닌, 거친 세상을 힘들고 바쁘게 살아야 하는 사람들은 효율적이며 효과적인 최단기 속성 코스를 원한다.

그래서 나는 생각해 보았다. 중고등학교의 수학지식을 가정해서 이것을 이해시킬 수 있겠는가. 과연 그것은 가능한 일인가. 솔직히 말하자면 별 뾰족한 수가 떠오르지 않는다. 왜냐하면 이것은 복소해석학을 배울 때는, 거의 정의에 가까운 수준으로 받아들일 수 있는 사실이기 때문이다. 그래서 나는 일단 이 공식의 등장인물들을 소개하면서 시간을 좀더 벌어보기로 했다. 좋은 생각 있으시면 알려주시라.