Archive for September, 2007

고교 수학의 명장면 (2)

Sunday, September 30th, 2007

오랜만에 고교수학의 명장면 다음 편을 쓴다. 고교수학의 명장면 (1)

고교수학에 조합(combination)이라는 개념이 있다. 1부터 42 까지 숫자 중에서 6개를 뽑는 방법의 수를 세는 것 같은 상황에서 쓰는 개념이 조합이다. n개의 서로 다른 물건에서 r개를 선택하는 방법은

[math]_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}[/math]

으로 주어진다.

내가 고딩일 때 배울때는 [math]_n C_r [/math] 라는 기호로 배웠지만, 대학에 와서 지금까지 공부를 하다보니, 업계의 선수들은 [math] {n\choose r} [/math] 라는 기호를 더 애용하니, 여기서는 그렇게 쓰도록 하겠다.

이렇게 조합을 정의하고 나면, 꼭 나오는 문제 중에 이런게 있다.

[math]\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}[/math]

을 계산하라.

가령 n=5 라고 한다면, 1부터 5까지 중에서 0개 뽑는 법, 1개 뽑는 법, .... 5개 뽑는법 다 더하면 얼마인가 묻는건데, 1+5+10+10+5+1=32 됨을 확인할 수 있다. 문제를 잘 들여다 보면, 결국 다섯개 원소를 갖는 집합의 부분집합의 개수는 모두 얼마인가 하는 문제와 같다는 것을 알 수 있다. 그러므로, 1이 들어가는 경우 안들어가는 경우, 2가 들어가는 경우 안들어가는 경우, ..., 5개 들어가는 경우 안들어가는 경우 해서 모두 [math]2^5[/math]가 되는 것이다.

일반적인 n에 대해서도 마찬가지로 답은 [math]2^n[/math]이 된다.

그러나 내가 회고하는 명장면이란 이러한 풀이가 아니라 바로, 다음 식을 이용하는 것이 되겠다.

[math](1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n[/math]

이 식에다가 x=1을 대입하면, 곧바로

[math]2^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r} = {n\choose 0} + {n\choose 1} + \cdots + {n\choose n}[/math]

이 됨을 알 수 있다.

여기서 눈을 바로 뜨고 보아야 할 핵심은 자연수의 더하기 문제에다가 함수를 끌어들였다는 것이다. 이러한 생각의 파워를 느끼기 위해서는 다음과 같은 문제를 생각해 볼 필요가 있다.

[math]\sum_{r=0}^{n} r {n\choose r} = 0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots +r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}[/math]

는 얼마인가?

n=5 인 경우에 대해서 노가다 계산을 해보면,

[math]\sum_{r=0}^{5} r {5\choose r} = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5} =0+5+20+30+20+5=80 [/math]

과 같다.

위에서 언급한 식을 사용해 보자면,

[math](1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n[/math]

의 양변을 미분하면,

[math]n(1+x)^{n-1}=\sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}x^{r-1} =0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r}x^{r-1} + \cdots + n {n\choose n}x^{n-1}[/math]

을 얻고, 여기에 x=1을 대입할 경우,

[math]n(1+1)^{n-1}=n 2^{n-1}= \sum_{r=0}^{n} r {n\choose r}=0 {n\choose 0} + 1 {n\choose 1} + \cdots + r {n\choose r} + \cdots + n {n\choose n}[/math]

을 얻게 된다. n=5를 넣어보면, 다시

[math] 80= 5 \times 2^4 = 0 {5\choose 0} + 1 {5\choose 1} + 2 {5\choose 2} +3 {5\choose 3} +4 {5\choose 4} + 5 {5\choose 5} [/math]

를 얻을 수 있다.

더하기 문제에다가 함수를 끌어들여서 미분 적분의 파워를 활용하는 것이 이 방법론의 핵심이다. 아이디어가 쌈빡하지 않은가??

상황을 좀더 일반화 해서 요약을 하자면 다음과 같다.

1. 수열 [math]\{a_r\}[/math]이 주어져 있다.(유한수열일 수도 있고, 무한수열 일수도 있다)
위에서 다뤘던 경우는 수열이

[math]a_r = {n \choose r}[/math]

로 정의된 유한수열이다.


2. 수열을 이용해서 다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다.
(유한수열이면 다항식)

[math]f(x)=\sum_{r=0}^{\infty} a_r x^r[/math]

그래서 우리의 경우는

[math]f(x)= {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n[/math]

를 만들었다.

3. 함수를 구한다.

우리의 경우에는 함수가

[math] f(x)=(1+x)^n[/math]

이 된다.

4. 수열에 대한 정보를 함수를 통해 얻는다.

위에서는 x=1을 대입한다던가, 미분을 한다던가 하는 작업을 통해, 이상한 더하기들을 구했다.

고교수학에서 잠깐 삐져나온 사실이긴 하지만, 바로 이 아이디어가 해석적 정수론(analytic number theory)의 출발점이 된다. 참으로 위대한 아이디어다.

가령, 수열이 피보나치 수열 즉

[math]F_0=0, F_1=1, F_{r+1}=F_{r-1}+F_{r} [/math]

로 주어진다면, 위의 작업을 행할 경우,

[math]s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}[/math]

가 됨을 다음과 같이 보일 수 있다.

[math]\begin{align}
s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\
&= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\
&= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\
&= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\
&= x + x s(x) + x^2 s(x)
\end{align}[/math]

[math]s(x)[/math]라고 하는 하나의 함수에다가 피보나치 수열의 모든 정보를 압축했다고 볼 수 있다. 이제 이 함수를 미적분학의 툴들로 공략하면, 피보나치 수열에 대한 정보가 줄줄줄 튀어나오게 될 것이다. 가령 이 함수를 미분해서 테일러 전개를 하게 되면, 반드시

[math] \frac{1 + \sqrt{5}}{2} , \frac{1 - \sqrt{5}}{2} [/math]

와 같은 수를 얻게 된다. 앞에 수가 바로 황금비다. 피보나치 수열 얘기를 하다보면, 어김없이 황금비가 등장하는 이유를 설명한다. (다시 한번 얼마 전에 포스팅한 꽃은 왜 아름다운가의 동영상을 보라. 하나 주의할 점은 황금비가 1.618인 것은 아니다)

고교수학에도 제대로 보지못하고 스쳐지나간 멋진 것들이 많이 있다 생각되지 않는가?

꽃은 왜 아름다운가

Sunday, September 16th, 2007

2007년 9월 2일 (일) 밤 8시, KBS 스페셜은 '꽃의 비밀' 이었다.

꽃의 비밀 3 - 형태
꽃이 아름답지 않다고 생각하는 사람은 없다. 사람들은 왜 꽃을 아름답다고 느끼는 것일까? 꽃의 형태를 결정하는 꽃잎! 꽃잎의 개수를 세어 본 적이 있는가? 거의 모든 꽃이 1장, 2장, 3장, 5장. 8장, 13장, 21장, 34장의 꽃잎을 가졌을 것이다. 이 숫자는 자세히 살펴보면 앞서 나오는 두 개의 숫자의 합으로 이어지는 숫자이다. 우리는 이를 '피보나치수열 '이라 부른다. '피보나치수열'은 무엇이며, 꽃은 왜 이 수열을 따라 잎을 만들어 내는 것일까?

(more...)