숫자 12 (2)

주의 : 미적분학 배우는 대딩 1학년은 보지 말 것-
참고로 이것은 물리학임...

목표는

[math]\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots = -\frac{1}{12}[/math]

을 증명하는 것임.

보조정리

[math]1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots = \frac{1}{4}[/math]

(증명)
테일러정리에 의하면,

[math]x-2x^2+3x^3-4x^4+\cdots=\frac{x}{(1+x)^2}[/math]

본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.
그러므로,

[math]1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots = \frac{1}{4}[/math]

(증명끝)

본론으로 돌아가서,

[math]S=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots[/math]

[math]2S=2 + 4 + 6 + 8 + \cdots[/math]

[math]4S =2 (2+4+6+8+\cdots)[/math]

그러므로,

[math]1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots + 4S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots= S[/math]

따라서,

[math]-3S= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots =\frac{1}{4}[/math]

[math]\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots = -\frac{1}{12}[/math]

2 Responses to “숫자 12 (2)”

  1. 화종 says:

    아래에서 두번째 -3S = 1/4 여야 되지 않냐?
    오타 수정 바람; ㅋ

  2. 지나가다 says:

    zeta function 이군요.....