Archive for January, 2007

숫자 163 (4)

Sunday, January 21st, 2007

이제는 어서 이야기를 끝내는 쪽으로 가야겠습니다. 그래야지, 또다른 재밌는 얘기들을 시작할 수 있지 않겠습니까?

다시 기억을 끄집어 내 봅시다. 이야기는 바로 다음 식에서 시작되었습니다.

[math]e^{\pi%20\sqrt{163}} - 262537412640768744 \approx 7.5 \times 10^{-13}[/math]

그리고 저는 물었습니다. 이것은 우연일까요? 필연일까요? 우연과 필연, 대체 이 둘을 가르는 기준은 무엇일까요? 이 이야기를 시작할 때, 제 마음에 있던 답은, '하나의 특별한 현상을 그보다 더 일반적인 컨텍스트 안에다 가져다 놓고 이해할 수 있다면 그것은 우연이 아니다' 라는 것이었습니다. 뉴턴이 떨어지는 사과 속에서 바라본 것은, 사실은 사과의 움직임이 아니라, 만유인력이라고 하는 전 우주적인 매우 거대한 컨텍스트였을 것입니다. 이런 말들이 지금은 다소 모호하게 들리겠지만, 163에 대한 저의 글이 마무리될 때, 여러분은 제 말의 의미를 아주 분명하게 깨달을 수 있을 것입니다.

정수의 집합 [math]\mathbb{Z}=\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}[/math]으로 다시 돌아갑시다. 정수의 성질에 대해 연구하는(?) 수학의 분야인 정수론의 유명한 고전인 G.H.Hardy와 E.M.Wright의 "An Introduction to the Theory of Numbers"의 첫번째 정리는 "모든 1이 아닌 양의 정수는 소수들의 곱으로 쓰여진다" 입니다. 그리고 두번째 정리는 바로 "정수를 그렇게 소수들의 곱으로 표현하는 방법은 유일하다"입니다. 너무나도 자명하여, 이게 정리인지 아닌지조차 헷갈릴 정도입니다. 그러나 이 두번째 정리에는 "The Fundamental Theorem of Arithmetic"이라고 하는 멋진 이름이 붙어 있습니다. "산술의 기본 정리"라고 하면 될까요. 이렇게 그 안의 수들이 소수들로 유일하게 분해될 때, 수학자들은 그 녀석을 UFD(Unique Factorization Domain) 라고 부릅니다. "산술의 기본 정리"를 다른 말로 표현하면 "[math]\mathbb{Z}[/math]는 UFD 이다" 가 되겠습니다. 그럼 이제 이 당연해 보이는 사실이 왜 자명하지 않은지에 대해 한번 이해를 해 볼 차례입니다.

이제 [math]\mathbb{Z}[/math]가 아닌 [math]\mathbb{Z}

\sqrt{-5}

=\{a+b\sqrt{-5} \: : \: a,b \in \mathbb{Z}\}[/math]라는 집합을 생각해 봅시다. 이 녀석 역시 정수처럼 더하기 곱하기가 그 안에서 잘 성립합니다. 가령, [math]1+\sqrt{-5}[/math]과 [math]2-\sqrt{-5}[/math] 를 곱한다고 해 봅시다.

[math](1+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})=2+(2-1)\sqrt{-5}-(-5)=7+\sqrt{-5}[/math]

한 집합에서 두 녀석을 뽑아서 곱했더니, 여전히 같은 집합에 있다는 것이 제가 곱하기가 잘 성립한다고 말하는 것입니다. 이제 [math]1+\sqrt{-5}[/math]과 [math]1-\sqrt{-5}[/math] 를 곱해봅시다. 계산을 해 보면, 6을 얻게 됩니다. 2와 3을 곱해도 6을 얻게 됩니다.
그런데 사실, [math]\mathbb{Z}

\sqrt{-5}

[/math] 안에서, [math]1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5}, 2,3[/math] 은 모두 소수 역할을 하는 녀석들입니다. 즉, 저 녀석들을 다른 수들의 곱으로 표현할 수 있는 방법이 없습니다. 6은 적어도 두가지 이상의 방식으로 소수들로 쪼개진다! 이 결과가 말하는 것은 바로 "[math]\mathbb{Z}

\sqrt{-5}

[/math] 는 UFD 가 아니다" 라는 것입니다.

자 이제 매우 중요한 결과를 하나 언급 해야겠습니다.
[math]x=0,1,2,\cdots, 39[/math] 일때, [math]f(x)=x^2+x+41[/math] 는 소수라는 사실은, [math]\mathbb{Z}

\frac {-1+\sqrt{-163}} {2}

=\{a+b \cdot \frac {-1+\sqrt{-163}} {2} \: : \: a,b \in \mathbb{Z}\}[/math]이 UFD 라는 사실과 동치입니다. 이 사실은 이제 그냥 맘 편히 받아들이시면 되겠습니다.

제가 전에 숫자 163 (2)에서 (2,3,5),11,17,41라는 녀석들을 언급한 적이 있었습니다. 이 녀석들은 [math]0 \le x \le q-2[/math] 일 때, [math]f(x)=x^2+x+q[/math]는 모두 소수라는 사실을 만족시켜줄수 있는 [math]q[/math]들입니다. 그리고 이 사실은 위에서 본것처럼, 각각,

[math]\mathbb{Z}

\frac {-1+\sqrt{-7}} {2}

, \mathbb{Z}

\frac {-1+\sqrt{-11}} {2}

, \mathbb{Z}

\frac {-1+\sqrt{-19}} {2}

, \mathbb{Z}

\frac {-1+\sqrt{-43}} {2}

, \mathbb{Z}

\frac {-1+\sqrt{-67}} {2}

, \mathbb{Z}

\frac {-1+\sqrt{-163}} {2}

[/math]

들이 모두 UFD 라는 사실과 대응이 됩니다. 루트 안에 있는 수들은 모두, 방정식을 풀 때처럼, [math]1-4q[/math] 라는 방식으로 얻어진 녀석들입니다.

복잡해 보이지만, 봐야할 것만 잘 꺼내 보면 될 일입니다. 163에 대응될만한 녀석들은 어떤 녀석들인가를 보면 된다는 것입니다. (7,11,19),43,67,163 이 되겠군요.

이제 계산을 해 보겠습니다.

[math]e^{\pi%20\sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785[/math]
[math]e^{\pi%20\sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613[/math]
[math]e^{\pi%20\sqrt{163}} = 262537412640768743.99999999999925007259[/math]

소수점 이후에 나타나는 여러개의 9!!!! 163뿐만이 아니었습니다. 이것이 바로 제가 하나의 특수한 현상을 보다 일반적인 컨텍스트 안에 둔다는 것입니다. 마법같지 않습니까? 한편, 괄호친 7,11,19는 예외는 아니고, 이런 멋진 결과를 주기에는 좀 크기가 작습니다. 아무렴 어떻습니까? 두 개나 더 얻었는데. 수학을 공부하면 우리는 이런 큰(?) 보상을 얻을 수 있습니다.

[math]e^{\pi%20\sqrt{43}} \approx 884736744[/math]

[math]e^{\pi%20\sqrt{67}} \approx 147197952744[/math]

[math]e^{\pi%20\sqrt{163}} \approx 262537412640768744[/math]

자 셋 모두 끝 세 자리가 744입니다. 그러면 이것은 또 무엇인가? 사실 미스테리를 완전히 해결하기 위해서는, 하나의 주인공이 더 필요합니다.

[math]j(\tau) = \frac{1}{{q}} + 744 + 196884{q} + 21493760{q}^2 + 864299970{q}^3 + \cdots[/math]
이 때, [math]{q} = e^{2\pi i\tau}[/math].

저기서 그 744가 왔습니다. 하지만 이 녀석에 대해서는 언젠가 다시 얘기할 수 있을 날이 올 것이라 생각하기 때문에, 이쯤에서 163 이야기는 이만 마칠까 합니다. 수식이 난무해서, 좀 어려웠을 것 같기도 합니다. 그래서 드리는 말씀은, 제가 이제까지 경험을 바탕으로 말하건대, 무언가 낯설 표현들이 난무하는 글을 읽는 좋은 방법은 그냥 몰라도 여러번 읽어 보는 것입니다. 그러면, 하나 둘 이들을 구성하고 있는 요소들이 익숙해지고, 그러다 보면, 익숙해진 부분이 아닌 이해가 부족했던 부분에 더 집중을 할 수 있게 되고, 그러는 가운데 조금씩 조금씩, 전체의 그림을 짜맞추어 갈 수 있게 되는 것입니다. 머 이해하기 싫다면, 저 마지막 결론 부분만 찬찬히 한번 다시 보면 되겠지요.

이야기를 끝내기 전에 이제 다시 러셀의 말을 옮겨 봅니다.

Mathematics possesses not only truth, but also supreme beauty.

이제 이 사실을 조금 공감할 수 있습니까?

숫자 163 (3)

Sunday, January 14th, 2007

사람들은 수학에는 논쟁이 존재하지 않는다고 생각합니다. 그러나 수학적 결과 그 자체에 대해서 논쟁이 존재하지는 않는다 하더라도, 한발짝만 수학 밖으로 나가서 수학을 바라보게 되면, 수학에도 역시 재미있는 논쟁이 있다는 것을 발견할 수 있습니다. '수학을 한다는 것은 발견을 하는 것인가 발명을 하는 것인가' 하는 것입니다. 절대주의적이며 플라톤주의적인 관점에서는 수학이란 이미 어딘가에 완벽하고 아름다운 형태로 존재하고 있고, 인간은 그것을 하나둘씩 찾아 나갈 뿐이라고 생각합니다. 그보다 인간적인 관점에서는 수학 역시 인간의 선택이 끼어들어가는 발명이라고 생각을 합니다. 그런데 사실 이 문제에 대해서 수학자들은 별로 관심을 갖지 않습니다. 이런 논쟁을 더 좋아하는 사람들은 이빨로 먹고 살아야 하는 철학자같은 사람들이겠지요. 수학자들은 그저 묵묵히 수학을 할 뿐입니다. (내놓고 말은 안해도, 속으로 수학은 아름답게 실재한다고 믿으면서 말이죠)

고딩수학을 보면 허수라는 것이 있습니다. [math]i^2 = -1[/math] 라는 것이죠. 교실에는 대혼란이 시작됩니다. 그런게 세상에 어디 있느냐 하는 것입니다. 현실의 세계와 수학의 세계 사이의 대응관계가 깨지기 시작합니다. 그래도 음수는 온도계에 있었다고 둘러대면 됐지만, [math]i[/math]는 도무지 눈에 보이질 않습니다. [math]i[/math]는 이미 존재하고 있었던 것일까요? 아니면 인간이 만들어 억지로 끼워 넣은 것일까요?

쓸데없는 얘기가 길어졌는데, 이제 다시 주제로 돌아가야겠습니다. 주제를 잊었을 법도 한데, 지금 우리는 [math]163[/math]과 [math]x^2+x+41[/math]가 보여준 기이한 현상을 이해하고자 합니다. 이를 위해서, 오늘은 한 가지 개념을 공부해 볼까합니다. 바로 (소)인수분해라는 것이죠. 중고딩 시절에 많이 들어본 익숙한 단어일 것입니다.

문제를 하나 풀어봅시다.

[math]x^4-y^4[/math]를 인수분해하시오.

이 정도 문제라면, 어렵지않게 [math](x^2+y^2)(x+y)(x-y)[/math] 라는 답을 쓸 것입니다. 그런데 이게 과연 정답일까요? 그럴 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 아마도 중고딩들에게는 이 정도면 정답입니다. 그러나 수학을 공부하는 학생이라면 문제가 좀 불완전하다고 생각할 수도 있습니다. 왜 그렇냐고요? 답이 [math](x+iy)(x-iy)(x+y)(x-y)[/math]라고 하면 어떻겠습니까? 이것도 가만 보면, 맞는 말이지 않습니까? 지금 여기서 중요한 문제는 우리가 지금 놀고 있는 무대가 어디냐는 것입니다.

이제부터 정수의 집합 [math]\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}[/math]을 [math]\mathbb{Z}[/math] 라고 표기합시다. 처음엔 이것이 다소 낯선 표현이어서 어려움을 줍니다. 그렇지만 이겨내야 합니다. 수학을 공부하는데 있어 사실 가장 고통스런 과정은 바로 이 낯선 심볼들과의 전쟁을 벌이는 일입니다. 이 전쟁에서 패하면, 우리는 이러한 주술을 해독할 수 있는 힘을 가진 사람들에게 지배받게 됩니다. 그러나 이 고통을 이겨내어 심볼을 몸에 익히게 되면, 우리는 소통할 수 있게 되고 사유할 수 있게 됩니다. 무슨 분야든 결국 전문가와 비전문가의 차이는 그 분야의 심볼 해독 능력에 달려 있습니다. 귀머거리 베토벤이라면 악보만 봐도 음악이 들리지 않았겠습니까?

[math]\mathbb{Z}[/math] 안에서는, [math]2[/math]를 소인수분해하라는 것이 이상합니다. 그런데, 이제부터 이 녀석의 범위를 조금 더 넓혀, [math]\{a+bi \: : \: a,b \in \mathbb{Z}\}[/math] 가 이제부터 우리의 정수인 것처럼 생각해 봅시다. 이 집합은 [math]\mathbb{Z}[/math]처럼, 더하기 곱하기가 그 안에서 완벽하게 작동므로 이렇게 생각을 할 수도 있다는 것입니다. 아무튼 여기선 2에게 어떤 일이 벌어지게 될까요? [math]2=(1+i)(1-i)[/math] 가 됩니다. 예전에는 소수였던 2가 쪼개지는 일이 생깁니다. 2는 [math]\{a+bi \: : \: a,b \in \mathbb{Z}\}[/math] 에서는 소수가 아니라는 것이죠.

요약을 합니다. 인수분해를 하는데 있어 항상 염두에 두어야 할 것은, 지금 손에 들고 있는 수가 어디에 속해 있는 것이며, 이녀석을 분해하는데 있어, 어느 범위까지의 수를 사용할 것인가 하는 것입니다. 지금 어디서 놀고 있는 것인지, 다시 말해 어떤 집합에서 놀고 있는 것인지를 인식해야 한다는 것입니다. 중고딩에게는 이런 고민이 요구되지 않지만, [math]163[/math]과 [math]x^2+x+41[/math]의 미스테리를 풀려면, 이러한 개념이 필요해집니다.

이제 조금씩 문제의 본질로 다가서고 있고, 두번 정도의 글을 더 쓰면, 끝을 볼 수도 있을 것 같은데, 끝까지 갈 의지가 아직 남아있는지 알려주세요. 그리고 기억하세요. 세상 모든 일이 그렇듯이, 지루함을 참아낼 수 없는 사람에게는, 재밌는 시간도 찾아오지 않는다는 것을.

숫자 163 (2)

Thursday, January 11th, 2007

(숫자 163에서부터 계속)

버트런드 러셀은 말했습니다.

Mathematics possesses not only truth, but also supreme beauty

한국의 중고딩들이 어떻게 수학을 공부하는지 뻔히 다 아는데, 수학이 아름답다고 ????!!!! 그것도 슈프림 피자도 아니고 뷰티라니,,, 이런 망언이 또 어디 있습니까?

[math]e^{\pi%20\sqrt{163}} - 262537412640768744 \approx 7.5 \times 10^{-13}[/math]

지금 미스테리를 간직한 식이 눈앞에 놓여 있습니다. 만약에 저것이 우연이 아니고, 필연이라는 사실을 설명할 수 있다면, 사람들은 수학이 아름다울 수도 있다는 사실을 공감할 수 있을까요?

궁금하시겠지만 오늘도 역시 제기된 질문에 바로 답을 하지는 않고, 다른 이상한 현상 하나를 더 보여드릴까 합니다. 한번에 다 보여주면, 제가 뭐갖고 장사할 수 있겠습니까?

오늘의 주인공은 저 녀석들보다는 좀 단순하고 덜 무섭게 생긴

[math]x^2+x+41[/math]

이 되겠습니다. 어제꺼는 그래도 고딩 수준을 요구하는 것이었고, 오늘은 중딩 수학입니다.(아 혹시, [math]\pi[/math] 라던가, [math]e[/math] 에 대해 좀 친밀감이 떨어진다던가 불편함을 느끼신다면, 살짝 무기명 코멘트를 다시면, 그 부분에 대해 따로 또 포스팅을 하겠습니다)

그럼 [math]f(x)=x^2+x+41[/math] 이놈은 뭐가 있나 한번 구경을 해봅시다.

[math]x=0,1,2,\cdots, 39[/math] 일때, [math]f(x)=x^2+x+41[/math] 의 값을 계산해보면,
41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601 을 얻게 됩니다. 신기하게도 이 녀석들은 모두 prime number 소수 즉, 1과 자기 자신외에는 약수가 없는 수가 됩니다. [math]x=40[/math] 일 때는, [math]f(40)=1681=41^2[/math] 이 되어, 그 규칙이 깨지게 됩니다. 41대신에, 다른 작은 수를 가지고 실험을 해 보면, 다른 녀석들보다도, (2,3,5),11,17,41이 특별히 이와 비슷한 좋은 결과를 준다는 것을 발견할 수 있을 것입니다.

그런데 왜 163 이 주인공이라고 얘기를 하다가, 갑자기 다른 얘기를 하고 있죠??? 오랜만에 한번, 옛 시절도 한번 생각해 볼겸, 이차방정식 한번 풀어보세요.

오늘의 숙제 : [math]x^2+x+41=0[/math] 의 해를 구하시오.

[math]163[/math]의 이상한 성질과 [math]x^2+x+41[/math] 의 이상한 성질은 관련이 있을까요? 없을까요? 이걸 궁금해 하는 사람은 지금 수학 세계의 인연연기에 대해 고민하고 있는 것입니다. 정말 하등 어디 쓰잘데기가 없는 짓이죠.

그러니 이 얘기 계속 할까요? 말까요?

숫자 163

Wednesday, January 10th, 2007

이제 수식 표현의 문제가 거의 해결되었으므로, 수학 블로깅이 시작돼야겠지요?

과연 숫자 하나가 얘기 꺼리가 될 수 있을까요? 그러면 저야 더 바랄께 없겠지요. 블로그의 소재가 무궁무진하게 깔려있다는 것이니까요. 첫번째 주인공은 숫자 163 이 되겠습니다.

[math]\large e^{\pi \sqrt{163}}[/math]

의 값은 얼마일까요?
놀랍게도 262537412640768743.99999999999925007259... 거의 정수인 262537412640768744 에 가깝군요.

이것은 우연일까요? 아니면 필연일까요? 이유가 있을까요? 없을까요?
궁금해 하는 사람이 좀 있으면 더 쓰고, 아니면 그냥 말으렵니다.

블로그, TeX 을 장착하다

Monday, January 8th, 2007

간단한 테스트

Solve [math]ax^2+bx+c=0[/math] Answer [math]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

오호호 좋아라.

[math]j(\tau) = \frac{1}{{q}} + 744 + 196884{q} + 21493760{q}^2 + 864299970{q}^3 + \cdots[/math]

여기서, [math]{q} = e^{2\pi i\tau}[/math].

아싸...

다음 네 개의 글을 참조하였음.
Creating Equations in Movable Type
Code for Movable Type Equation plugin
m i m e T e X q u i c k s t a r t
MimetexParser

이제부터 조금씩 수학 블로그로 진화할 예정임.