뉴스와 함께 다시 읽는 고전 하디의 '어느 수학자의 변명'

먼저 며칠 전 뜬 신문기사를 하나 읽어 보세요. 기사링크
화제가 되었으니, 문제가 무언지도 한 번 읽어보구요.(관심이 있다면 말이지요)
저는 좀더 생각하면 문제를 이해할 수는 있을 것 같습니다. 허허.

16. Problem of the topology of algebraic curves and surfaces

The maximum number of closed and separate branches which a plane algebraic curve of the n-th order can have has been determined by Harnack. There arises the further question as to the relative position of the branches in the plane. As to curves of the 6-th order, I have satisfied myself--by a complicated process, it is true--that of the eleven branches which they can have according to Harnack, by no means all can lie external to one another, but that one branch must exist in whose interior one branch and in whose exterior nine branches lie, or inversely. A thorough investigation of the relative position of the separate branches when their number is the maximum seems to me to be of very great interest, and not less so the corresponding investigation as to the number, form, and position of the sheets of an algebraic surface in space. Till now, indeed, it is not even known what is the maxi mum number of sheets which a surface of the 4-th order in three dimensional space can really have.

In connection with this purely algebraic problem, I wish to bring forward a question which, it seems to me, may be attacked by the same method of continuous variation of coefficients, and whose answer is of corresponding value for the topology of families of curves defined by differential equations. This is the question as to the maximum number and position of Poincare's boundary cycles (cycles limites) for a differential equation of the first order and degree of the form dy/dx = Y/X where X and Y are rational integral functions of the n-th degree in x and y. Written homogeneously, this is X(y dz/dt - z dy/dt) + Y(z dx/dt - x dz/dt) + Z(x dy/dt - y dx/dt) = 0, where X, Y, and Z are rational integral homogeneous functions of the n-th degree in x, y, z, and the latter are to be determined as functions of the parameter t.

동아일보는 BBC 뉴스를 베낀 거 같은데, 얘기를 좀더 들어 보면, 문제가 완전히 해결된 것은 아니고 아마도 위에서 뒤에 부분의 문제가 해결되었다는 것 같구요.
20세기 초에 제기된 힐버트 문제 23개의 운명은 이제 어떻게 되는 것일까요?(이거 말고도 중요한 미해결 문제는 넘치고 넘칩니다. 힐버트 문제는 다만 20세기 수학의 역사와 뗄 수 없기 때문에 유명한 것이구요)16번이 많이 해결된 것이라 한다면, 이제 남은 것은 물리학은 수학이냐는 좀 황당스런 질문과 리만 가설이 되겠네요. 리만 가설이야 워낙 유명하니까 그렇다치고, 큰 수학자 아티야가 말한바 21세기 수학은 물리학과 수학의 행복한 재결합이 중요한 주제가 될 것이라 했으니, 힐버트 문제의 역사는 아직 그 클라이맥스는 남겨두고 있다고 봐야겠습니다.
그런데 이런 말들도 알아두시면 참 도움이 될 것입니다. 그 오래전에 피타고라스는 '만물은 수이다'를 외쳤고, 가우스는 '수학은 과학의 여왕이고, 정수론은 수학의 여왕이다'라고 했으니까요. 남은 문제들이 물리학이 수학이냐는 문제와 리만 가설(리만 가설은 정수론에서 소수의 분포와 깊이 관련된 악명높은 문제입니다) 이라는 것, 역사란 참으로 변하는 것 같지만 또 변하지 않는다는 것을 깨닫게 하지 않습니까? 이런 건 사실 어느 정도는 도그마틱 한건데 수학자들의 종교라고 해도 될지 모르겠습니다. 그러나 이 도그마는 허접한 공격을 인정하지 않습니다. 깨고 싶으면 수학을 더 잘해서 문제를 더 잘 풀어야 되니까요.
그나저나 수학의 역사에 여자는 참 드물게 등장합니다. 22살의 젊은 여학생이라니 참 놀랍습니다. 이렇게 한문제 한문제 풀려가는 것은, 제 생각엔 인간이라는 존재를 약간이나마 긍정적으로 바라볼 수 있게 해주는 참으로 축하할 만한 인류의 업적인데, 어떻게 생각하시는지요?
또 생각하게 되지만 위대한 업적은 22살에도 나온다는 것입니다. 다시 생각나게 하는 글, 하디의 '어느 수학자의 변명'의 일부를 타이핑하였습니다. 읽어보시면, 기사를 좀더 균형있게 이해할 수 있을 것입니다. 이와 더불어 저는 이번달로 상병 말호봉임을 덧붙이구요. 앗하하하하 나도 22살인데 씨앙..


여기서 나이 문제는 수학자에게 있어서 특히 중요하기 때문에 그에 관해서 이야기하는 것이 좋을 것 같다. 수학자는 스스로 다른 어느 예술가나 과학자보다도 더 젊은이의 게임이라는 것을 잊어서는 안 된다. 비근하면서도 간단한 예를 들자면, 영국에서 선거권이 주어지는 평균 연려잉 수학에 있어서 가장 어린 나이이다.
훨씬 더 놀라운 예를 자연스럽게 찾아볼 수 있다. 이를테면, 세계에서 가장 위대한 세 수학자 가운데 한 사람의 생애를 생각해 보자. 뉴턴은 50살에 수학을 그만 두었는데, 열정은 그보다 훨씬 전에 잃어버렸다. 그는 40세가 될 무렵 그의 위대한 창조력의 시기가 지아버렸다는 것을의심하지 않고 인정하였다. 그의 위대한 유율법과 만유인력의 법칙 등 모든 아이디어들은 그가 24살 되던 1666경에 떠올랐다. <그때가 발명에 있어서 나의 전성기였고, 그 후 어느 때보다도 과학과 철학에 몰두했던 때였다.> 그는 40살에 가까울 때까지 위대한 발견들을 하였지만(<타원궤도>는 37살 때), 그 후로는 그것들을 다듬고 완전하게 하였을 뿐 거의 이룬 것이 없다.
갈로아는 21살에 사망하였고, 아벨은 27살에, 라마누잔은 33살에, 리만은 40살에 사망하였다. 위대한 미분기하학 연구 보고서는 그가 50살 대 출판되었다. (본질적인 아이디어는 10년 전에 지니고 있었지만). 그러나 수학을 나이가 50이 지난 뒤에 시작해서 중요한 발전을 이룬 사람이 있다는 예를 들은 바가 없다. 나이 든 사람이 수학에 흥미를 잃고 수학을 버린다면, 수학에 있어서나 그 자신에 있어서 그렇게 심각한 손실은 아니다.
한편 얻는 것은 더 이상 본질적인 것이 아니다. 수학자가 수학을 떠난 뒤 그의 기록에는 특별히 고무적인 것이 없다. 뉴턴은 조폐국 장관으로서 상당히 유능하였다.(당시 그는 누구와도 불화하지 않았다.) 팽르베는 그다지 훌륭한 프랑스 수상은 아니었다. 라플라스의 정치경력은 매우 수치스러운 것이고 좋은 예라고 할 수 없다. 왜냐하면 그는 능력이 없다기보다는 정직하지 않았고, 정말로 수학을 <그만 둔> 적이 없었다. 일류의 수학자가 수학을 그만 두고 다른 어떤 분야에서 일류의 두각을 나타낸 예를 찾기는 매우 힘들다(찾는다면 파스칼이 최선의 경우일 것 같다). 수학에 매달렸으면 일류의 수학자가 되었을 젊은이들이 있었을 수도 있겠지만, 정말로 그럴 것 같은 예를 들어 본 적이 없다. 그러나 이 모든 것은 전적으로 내 자신의 매우 제한된 경험에서 나온 것이기는 하다. 내가 알고 있는 진짜 재능 있는 젊은 수학자들은 모두 수학에 충실하였고, 야망이 부족해서가 아니라 너무 풍부해서, 그들은 어딘가에 유명해지는 길이 있을 것이란 걸 모두 알고 있었다.

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