Archive for December, 2003

뉴스와 함께 다시 읽는 고전 하디의 '어느 수학자의 변명'

Wednesday, December 3rd, 2003

먼저 며칠 전 뜬 신문기사를 하나 읽어 보세요. 기사링크
화제가 되었으니, 문제가 무언지도 한 번 읽어보구요.(관심이 있다면 말이지요)
저는 좀더 생각하면 문제를 이해할 수는 있을 것 같습니다. 허허.

16. Problem of the topology of algebraic curves and surfaces

The maximum number of closed and separate branches which a plane algebraic curve of the n-th order can have has been determined by Harnack. There arises the further question as to the relative position of the branches in the plane. As to curves of the 6-th order, I have satisfied myself--by a complicated process, it is true--that of the eleven branches which they can have according to Harnack, by no means all can lie external to one another, but that one branch must exist in whose interior one branch and in whose exterior nine branches lie, or inversely. A thorough investigation of the relative position of the separate branches when their number is the maximum seems to me to be of very great interest, and not less so the corresponding investigation as to the number, form, and position of the sheets of an algebraic surface in space. Till now, indeed, it is not even known what is the maxi mum number of sheets which a surface of the 4-th order in three dimensional space can really have.

In connection with this purely algebraic problem, I wish to bring forward a question which, it seems to me, may be attacked by the same method of continuous variation of coefficients, and whose answer is of corresponding value for the topology of families of curves defined by differential equations. This is the question as to the maximum number and position of Poincare's boundary cycles (cycles limites) for a differential equation of the first order and degree of the form dy/dx = Y/X where X and Y are rational integral functions of the n-th degree in x and y. Written homogeneously, this is X(y dz/dt - z dy/dt) + Y(z dx/dt - x dz/dt) + Z(x dy/dt - y dx/dt) = 0, where X, Y, and Z are rational integral homogeneous functions of the n-th degree in x, y, z, and the latter are to be determined as functions of the parameter t.

동아일보는 BBC 뉴스를 베낀 거 같은데, 얘기를 좀더 들어 보면, 문제가 완전히 해결된 것은 아니고 아마도 위에서 뒤에 부분의 문제가 해결되었다는 것 같구요.
20세기 초에 제기된 힐버트 문제 23개의 운명은 이제 어떻게 되는 것일까요?(이거 말고도 중요한 미해결 문제는 넘치고 넘칩니다. 힐버트 문제는 다만 20세기 수학의 역사와 뗄 수 없기 때문에 유명한 것이구요)16번이 많이 해결된 것이라 한다면, 이제 남은 것은 물리학은 수학이냐는 좀 황당스런 질문과 리만 가설이 되겠네요. 리만 가설이야 워낙 유명하니까 그렇다치고, 큰 수학자 아티야가 말한바 21세기 수학은 물리학과 수학의 행복한 재결합이 중요한 주제가 될 것이라 했으니, 힐버트 문제의 역사는 아직 그 클라이맥스는 남겨두고 있다고 봐야겠습니다.
그런데 이런 말들도 알아두시면 참 도움이 될 것입니다. 그 오래전에 피타고라스는 '만물은 수이다'를 외쳤고, 가우스는 '수학은 과학의 여왕이고, 정수론은 수학의 여왕이다'라고 했으니까요. 남은 문제들이 물리학이 수학이냐는 문제와 리만 가설(리만 가설은 정수론에서 소수의 분포와 깊이 관련된 악명높은 문제입니다) 이라는 것, 역사란 참으로 변하는 것 같지만 또 변하지 않는다는 것을 깨닫게 하지 않습니까? 이런 건 사실 어느 정도는 도그마틱 한건데 수학자들의 종교라고 해도 될지 모르겠습니다. 그러나 이 도그마는 허접한 공격을 인정하지 않습니다. 깨고 싶으면 수학을 더 잘해서 문제를 더 잘 풀어야 되니까요.
그나저나 수학의 역사에 여자는 참 드물게 등장합니다. 22살의 젊은 여학생이라니 참 놀랍습니다. 이렇게 한문제 한문제 풀려가는 것은, 제 생각엔 인간이라는 존재를 약간이나마 긍정적으로 바라볼 수 있게 해주는 참으로 축하할 만한 인류의 업적인데, 어떻게 생각하시는지요?
또 생각하게 되지만 위대한 업적은 22살에도 나온다는 것입니다. 다시 생각나게 하는 글, 하디의 '어느 수학자의 변명'의 일부를 타이핑하였습니다. 읽어보시면, 기사를 좀더 균형있게 이해할 수 있을 것입니다. 이와 더불어 저는 이번달로 상병 말호봉임을 덧붙이구요. 앗하하하하 나도 22살인데 씨앙..

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앨지브라와 알고리듬 그 말의 기원

Monday, December 1st, 2003

아부 자파르 알콰리즈미는 780년에서 850년 사이에 살았던 아랍의 수학자였다. 각 문화권 사이의 교류가 부족한 연유로 생각의 전파가 쉽지 않았던 때에, 알콰리즈미는 "히삽 알자브르 왈무카발라" (Hisab al-jabr wal-muqabala)"- 되는 대로 읽어봤음. 아마 틀릴 것임- 라는 책을 썼는데, 이 책에는 중동의 많은 수학적 개념들과 공식들이 담겨 있었다. 이 중에 이차방정식을 완전제곱꼴로 바꾸는 개념도 있다. 제목 안의 '알자브르'라는 단어에서 오늘날 쓰는 앨지브라(algebra) - 대수 - 라는 말이 기원하였다.
이 책은 유럽수학에 혁명을 일으켰는데, 십진법과 일,이차 방정식 푸는법을 소개해 주었다.
현대 수학에 대한 알콰리즈미의 영향은 우리가 지금 사용하는 "알고리듬(algorithm)"이란 단어에서 찾아볼 수 있는데, 이 말은 그의 이름의 라틴어 번역이다.
원문링크

이라크의 수도인 바그다드는 오랜 동안 아랍문명의 심장부였다. 어제 새벽엔 바그다드에서 티크리트로 이동하고 있던 한국사람이 테러로 사망하였다.
수학은 결국 대수와 기하가 전부라고 할 수 있는데, 이것은 불교에 교종과 선종이 있는 것, 인간의 뇌가 좌뇌와 우뇌로 이루어져 있는 것, 인간의 사유가 논리와 직관의 상호작용이라는 것들과 깊이 관련되어 있다. 그렇다면 대수라는 것은 수학도들의 정신의 반쪽이라고도 할 수 있는데, 대수의 역사를 더듬어 가면, 그것이 결국 여러 문명의 교류의 산물임을 알게 된다. 이러한 사실을 깨닫게 되면, 또한 우리의 존재의 밑바닥을 가로지르고 있는 거대한 인류의 역사가 결국 나의 일부를 구성한다는 것을 알게 되고, 그러고 나면 다시 나같은 작은 인간마저도 역시 인류의 역사라고 하는 거대한 실험장의 작은 산물임을 깨닫게 되는 것이다. 니편 내편이란 것은 고상함을 지향하는 인간들에게는 유치한 것일 뿐이다.