변화 속의 불변 ...
무척이나 심오한 말로 들리지만, 수학과 전공 수업을 하나만 들어봐도, 수학자들에겐 이 말이 무척이나 일상적인 용어라는 것을 알게 될 것이다.
선형대수학의 예를 들어보면, (대충 읽으시면 됨)
유한차원 벡터공간 위에서 정의된 선형사상이 있다고 하자. 적절한 기저를 선택하여, 이 선형사상을 행렬로 표현할 수 있을 것이다. 이 때 만약, 기저를 다른 것으로 선택한다면, 선형사상은 다른 행렬로 표현될 것이다. 다시 말해 선형사상의 행렬표현은 기저의 변화 속에서 변한다는 것이다. 그러나 여기서 한 가지 흥미를 끄는 것은, 이 서로 다르게 표현된 행렬들의 행렬식(determinant)은 같다는 것이다. 더 관찰해 보면, 행렬식 뿐만이 아니라, 대각성분의 합(trace)도 같다는 것을 알 수가 있다. 이는 사실, 특성다항식(characteristic polynomial)이 같다는 데서 자연스럽게 따라나오는 결과이다. 행렬식과 대각성분은 특성다항식의 계수일뿐이므로...
재밌는 문제는 여기서부터 생겨난다. 만약에 서로 다른 두 행렬이 있을 때, 이들은 어떤 하나의 선형사상의 서로 다른 행렬표현으로 얻어졌겠는가? 하는 질문이다. '그렇다'라고 답하기 위해서는, 적어도 두 행렬의 특성다항식이 동일한지 정도는 살펴봐야 할 것이다. 만약에, 계산 결과 특성다항식이 같다면, 질문에 완전히 답할 수 있을까? 아쉽게도 그렇지는 않다. 그러면 무엇을 더 조사해 보아야 하는가? ... ... 당연한 것이지만, 기저를 변화시키면서 선형사상을 행렬로 표현할 때, 기저의 변화에 관계없이 변하지 않는게 또 무엇이 있는지를 찾아보아야 할 것이다. 특성다항식은 그것들 중의 하나였을 뿐. 아무튼 만약에 이렇게 해서, 질문에 완벽하게 답할 수 있게 해 주는 정보를 더 찾아내게 되면, 그때 우리는 처음에 제기된 문제가 완벽하고, 깔끔하게 해결되었다고 말할 수 있게 된다.
그러므로 선형대수에서도 '변하는 것 속에서 변하지 않는 것 찾기'는 중요한 테마가 되는 것이다.
이제 화제를 옮겨서...
이렇듯 '변화 속의 불변'은 수학의 주요 관심사인데, 내가 보기엔 음악의 주된 관심 역시 '변화 속의 불변'에 있는 것처럼 보인다.
내 견해로는 노래치고 변주곡 아닌게 없긴 하지만, 특별히 변주곡이야말로 '변화 속의 불변' 이라는 테마의 가장 훌륭한 구현이라고 할 수 있겠다. 끊임없이 변하는 변주 속에서, 변하지 않고 남아있는 그 주제를 찾는 것이 변주곡 감상의 핵심이라고 할 수 있겠다. 아무튼, 나는 무엇보다도 변주곡이 재밌고 좋다.
작업이 생각보다 노가다 (가지고 있는 mp3 파일을 부분별로 쪼갠 다음, wma 파일로 변환하는 작업)인 관계로 시간이 좀 걸린다. 그러니 오늘은 조금씩만 맛보도록 하자.
바흐의 골드베르크 변주곡
베토벤의 디아벨리 변주곡
테마
26번째 변주 (변주에 변주를 거듭하다 여기까지 왔음)
모짜르트의 작은별 변주곡 (동요 - 반짝반짝 작은별임)
테마
제10변주 (사랑스런 모짜르트 ㅋㅋ)
슈베르트의 죽음과 소녀 2악장
테마
제4변주 (빼어나게 아름다움)
재밌지 않은가?
빠진 것들은 틈틈이 올리도록 할테니, 음악공부도 하고, 음악감상도 하며, 즐거운 시간을...