피타고라스의 창

매스매티카로 복소함수의 경로 적분(contour integral)을 하는 문제를 생각해 보자. 경로의 매개화가 간단하게 주어진다면, 직접 매개화를 사용하여 적분을 하면 될 것이다. 그런데, 매개화하기가 좀 까다로운 경우라면 어떻게 하면 좋을까?
여기서는 매스매티카의 NIntegrate 명령어를 사용하여, 적분의 값을 수치로 얻는 방법을 생각해 볼까 한다.
아래와 같이 주어진 폐곡선을 생각하자.

반시계 방향으로 향이 주어진 이 폐곡선 γ에 대하여, 를 구해 보자.

이렇게 여러 점들을 이은 직선으로 이루어진 경로에 대하여 NIntegrate 명령어를 통하여 수치적분을 쉽게 할 수 있다면, 더 일반적인 경로에 대해서도 NIntegrate 을 사용할 수 있을 것이다.
매스매티카의 ‘Get Coordinates’ 기능을 이용하여, 경로 위의 점들을 얻어 보자. 점들을 얻기 위해 다음 그림을 그렸다.

이렇게 얻어진 그림에 마우스로 오른쪽 클릭을 하면, ‘Get Coordinates’ 기능이 나타나는데, 이를 선택하면 그림 위에서 점들을 클릭한 다음 ‘copy’ 명령을 통해 클릭한 점들의 리스트를 얻을 수 있다.

이 작업을 통하여 다음과 같은 점들을 얻었다.

원 안의 점들을 선택하여 이러한 경로를 얻었다. 이를 폐곡선으로 만들기 위해 다음 명령을 실행하자.

이제 위의 폐곡선 γ에 대하여, 를 구해 보자. (점들의 순서에 의하여 방향도 이미 정해졌다)

원점 주위를 반시계 방향으로 두 번 돌았으므로, 예상한대로 2를 얻는다.

여기서 사용된 매스매티카 노트북 파일은 여기에서 다운로드.

초등학생을 위한 수학 문제에서, 다음과 같은 그림그리기 문제를 보았다. (옛날에 중학교 기술 시간에 뭔가 비슷한 걸 해본것 같기도 하다)

그림을 보면, 곡선이 하나 나타나는 것을 관찰할 수 있다. 저게 무슨 곡선인가 궁금해서 생각을 해보게 되었다.

등장하는 직선들은, ,  로 주어진다.

이렇게 “one-parameter family 에 있는 모든 곡선에 적어도 한 점에서 접하는 성질을 갖는” 곡선을 주어진 곡선의 family에 대한 envelope 이라 부른다.

이 경우엔, 다음 두 방정식에서 t를 소거함으로써 얻을 수 있다.

적당히 정리하면 를 얻을 수 있다.

이는 이차곡선(원뿔곡선) 이며 판별식 으로 포물선이 됨을 알 수 있다.

고전적인 곡선의 미분기하학 문제라고 할만하고, 학부의 미분기하학 시간에 다룰만한 토픽일 법도 한데, 별다른 기억이 나지는 않는다. 포물선이 된다는걸 최근에야 처음 알았다.

저게 포물선이 된다는 것을 몰랐던 사람들에게 도움이 될까하여 적어보았다.

John Baez 가 2008년에 한 대중 강연의 주제를 My Favorite Numbers : 5, 8, and 24 로 선택했을 때, (관점은 조금 달랐지만) 나는 이에 크게 공감했다. (Why 5, 8 and 24 Are the Strangest Numbers in the Universe Scientific American, May 4, 2011 도 읽어볼 것)

8과 24에 대해서는 이전에 E8이란 무엇인가 (3) : 8차원의 눈꽃송이 와 같은 글을 통해 조금 얘기를 해 본적이 있다.

라마누잔의 연분수, 세가지 실타래 에서

와 같은 식을 소개한 적이 있다.

8과 24의 세계는 어떤 의미로 (complex multiplication) 오른쪽에 있는 식을 만들어 낸다.

5의 세계는 어떤 의미로(Nahm’s conjecture?) 이 식의 왼쪽을 가능하게 한다.

돌아보면, 5와 8,24의 세계를 하나의 틀 속에서 이해해보려 했던 것이 그간의 내 공부가 아니었나 생각을 한다.

이전 글은  숫자 5 .

로저스 다이로그 함수 는 다음과 같이 정의된다.

일 때,

함수의 그래프는 다음과 같이 생겼다.

, 와 같은 값을 가진다.

이 함수가 만족시키는 가장 중요한 성질로  5항 관계식 (5-term relation) 이라는 것이 있는데, 다음과 같다.

일 때,

가령 로 두면, 가 되어,

를 얻을 수 있다.

즉 과 같은 식이 성립하는 것이다.

지난 글에서 , , 로 정의된 점화식이 주기 5인 수열을 정의한다고 했는데,  로 부호만 바꿔주면,

로 정의되는 수열도 주기 5를 가진다는 것을 알 수 있다.

이 수열의 초기조건을 로 두면,

를 얻게 된다.

위에서 서술한 로저스 다이로그 함수의 5항 관계식에 등장하는   이 나타나는 것이다.