요즘은 자꾸 여기저기 몸이 아프다.
마음이 병들어 몸에도 병이 드는건지, 몸이 약해져 마음도 약해지는건지 아무튼 그다지 상태가 좋질 않다.
몸이 좋질 않으니 이렇게 사람이 병도 들고 언젠간 죽는 것이려니 하는 생각이 든다.
만약에 나에게 남겨진 날들이 많지 않다면 내가 해놓아야 할 일은 무엇일까.
혼자 묻고 고민도 해보는데 딱히 떠오르는건 없다.
내가 뭘 하면 좋겠어요?
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전에 쓴게 너무 오래되었지만 간략하게 요약을 하자면, 방정식의 해들이 가진 대칭성을 들여다보면 방정식에 대해 많은 것을 이해할 수 있다는 것이다. 여기서의 대칭성을 이해하기 위한 수학의 언어가 바로 군론이다. 오늘은 방정식으로부터 군을 얻는 과정을 설명하기 위해 유용한 것을 하나 말하려 한다. 바로 체와 체확장의 개념이다. 핵심을 말하자면, 방정식의 해로부터 체확장이라는 것을 얻고, 다시 체확장으로부터 군을 얻는다는 것이다. 즉 방정식->체확장->군의 과정을 거쳐 방정식에 대한 정보를 담고 있는 군을 하나 얻은 뒤, 그 군을 들여다보고 방정식에 대한 정보를 얻는 것이다.
체(field)란 간략하게 말하면 유리수, 실수, 복소수 처럼 사칙연산, 즉 더하기· 빼기·곱하기·나누기를 할 수 있는 대수적 구조를 말한다. 자주 사용되는 체들에 대하여 다음과 같은 기호들을 사용한다: 유리수체
체론(field theory)에서 가장 기본적인 개념은 체확장이라고 하는 것인데, 근의 공식을 이해하기 위해서도 중요한 개념이라 하겠다. 예를 하나 들어보자. 방정식
유리수 계수를 갖는 기약인 (즉 유리수체 위에서 인수분해되지 않는) 다항방정식이 주어졌을때, 유리수체의 확장을 얻는 예를 몇개 보도록 하자.
방정식 또다른 예로 방정식
다음 번에는 이러한 체확장으로부터 군을 얻는 과정을 살펴보도록 하자. 복소로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다. 복소함수 이 미분방정식은 원점 즉, 로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 선형 이계 미분방정식 이므로 두 함수 정말로 미분방정식의 해인지 확인을 해볼수 있다.
선형미분방정식의 이론에 의하여, 이 미분방정식의 이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를, 원점 주변의 경로를 따라 해석적확장(analytic continuation) 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자. 1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도 한편, 미분방정식의 특이점인 따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 대응시킬 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 에 대응된다. 한바퀴 도는 경우가 행렬 일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism) 즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인 복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다. 복소로그함수는 복소수
즉 복소로그함수는 하나의 복소수에 대하여, 여러개의 값을 가지는 다가함수(multi-valued function)이다. 예를 들자면,
중고등학교에서 ‘함수’의 개념을 가르칠때, 가장 강조되는 것은 함수는 각 정의역의 원소에 대하여, 공역의 원소가 하나씩 대응되어야 한다는 것이다. 그러니 이 상태로는 복소로그함수는 함수가 아니다! 학부의 복소함수론에서는 이러한 상황을 타개하기 위하여 복소평면에서 원점에서 시작되는 반직선을 뺀 영역에서 복소로그함수를 정의하며 그 공역, 즉 함수값이 가질 수 있는 영역을 제한하는 것이 보통이다. 그러나 이러한 방식으로는 이 함수를 어떻게 이해하는 것이 정말로 올바른 것인지 제대로 답할 수 없다. 문제의 원인을 잘 들여다보면, 이것은 원위의 점에 정의되는 각도함수를 정의하는 것이 불가능한 이유와 같음을 알 수 있다. 각도함수라는 것을 정의할 수 있는 곳은 원이 아니라, 원을 나선처럼 감고 있는 새로운 공간, 즉 직선이었다.
이 상황을 정리하기 위해서는 이와 같은 발상의 전환이 필요하다. 그것은 ‘공역’을 제한하는 것이 아니라 바로 ‘정의역’을 바꾸는 것이다. 로그함수는 원점을 제외한 복소평면에서 정의되는 함수가 아니다. 복소로그함수 단순히 복소수 z라고 하는 것은 이 곡면의 한 점을 정의하기에 충분하지 않다. 위의 원과 그 위에 놓인 나선(결국은 직선) 의 관계처럼, 원점을 뺀 복소평면을 나선처럼 감고 올라가는 곡면을 복소로그함수의 올바른 정의역으로 보아야 한다. 1 이라는 복소수를 이 곡면의 한 점으로 볼 것이 아니라, 어떤 한점을 1이라고 부른다면, 그 점 1에서 시작해서 원점 주변을 한바퀴 돌고올때 생기는 또다른 1, 두바퀴 돌때 생기는 1, … 이렇게 본래의 복소평면에 놓인 1에 대응되는 수많은 새로운 1이라는 점들이 이 곡면에 놓여 있는 것이다. 이 곡면을 복소로그함수
복소로그함수가 사는 곳은 복소평면이 아니라 이렇게 펼쳐진 곡면이다. 여러 수학의 분야들을 하나로 묶어주는 중요한 개념 중에 하나로, monodromy (모노드로미, 여기서는 맴돌이라는 용어를 사용하겠다) 라는 것이 있다. mono는 1과 관련되고, drome은 보통 달리는 것과 관계있는 단어에 붙어 다닌다. autodrome이라면 자동차 경주 트랙, velodrome은 자전거 경주장이다. 수학에서 이 개념에 대한 정의는 사용되는 맥락마다 조금씩 다르지만, 그 핵심에는 비슷한 요소들이 있다. 이 단어의 중요성을 보기 위해 한가지 사례를 들자면, 1900년에 데이비트 힐버트가 제시했던 수학의 중요한 문제 중에서 21번째 문제는 ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’이다. (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem 참고) 한편, 이 ’맴돌이’ 개념과 관련하여 학부생들에게 좋은 책으로는 러시아 수학자 V.I. Arnold의 ‘Abel’s theorem in problems & solutions‘ 과 일본 수학자 Michio Kuga의 ‘Galois’ Dream: Group Theory and Differential Equations‘ 을 추천한다. 오늘은 수학적인 개념들은 거의 배제하고, 가장 간단한 생활 속의 수학적 ‘맴돌이’ 현상을 살펴볼까 한다. 편의상 하루가 12시간이라고 가정해보자. 1부터 12까지 숫자가 적힌 시계가 있다. 분침은 무시하고, 시침만 보자.
시계가 간다. 8,9,10,11,12, … 1 ?? 시계에는 숫자가 12까지밖에 없어서, 12다음에 13이 오질 않고 다시 1이 된다. 이렇기 때문에, 이 시계로는 단절없이 흐르는 시간을 온전하게 나타낼 수 없다. 그래서 우리에겐 시계가 몇바퀴 돌았는가에 대한 정보를 기록하는 달력이라는 것이 필요하다. 시계가 완전히 한바퀴를 돌면, “하루”가 지나간다. 만약 시계가 거꾸로 돈다면, “하루”만큼 되돌아간다. 시계방향으로 n바퀴를 돌면, 앞으로 n일. 반시계방향으로 n바퀴를 돌면, 뒤로 n일. 이제 시간이라는 것을 무한히 펼쳐진 직선처럼 생각한다면, 시계가 한바퀴 도는 것은 이 직선에서 하루에 해당하는 길이만큼의 평행이동에 대응된다. 즉 시계한바퀴 ~ 직선 위에서 한바퀴 만큼의 평행이동으로 생각할 수 있다. 직선은 기하학적 공간이므로, 어떤 의미로 시계한바퀴는 이 기하학적인 공간에서 작용하는 함수가 된다. 이렇게 한바퀴 도는 것을 함수처럼 이해하는 것, 이것이 바로 ‘맴돌이’개념의 핵심이다. 다음번에는 많은 학부생들이 그 이해에 어려움을 겪는 복소로그함수에 대해 생각해 보도록 하겠다. 관련 포스팅 수학과 컴퓨터의 어떤 프로그램에서 인쇄하는데 문제가 발생한 적이 있었다. 그 때 나온 공지..
수학적인 배경을 이해하려면, 라그랑지의 네 제곱수 정리 를 참조. 엄마는 지난해부터 한 전문대에 다니기 시작했다. 집안사정으로 젊은 시절에 공부를 충분히 하지 못한 것이 늘 마음에 남아서였을까. 이 얘기는 담으로 미뤄두기로 하고. 이 학교에선 성적을 어떻게 주는건지 좀 의아한 점들이 있는데, 엄마의 성적은 모든 과목이 A+에 어쩌다 그냥 A이며, 많은 학생중에 한손가락 안에 드는 등수를 받는다고 한다. 집안에 있는 크고 작은 일들 때문에, 공부를 제대로 하는 것은 커녕 가끔은 기말시험도 못보는 과목도 더러 있는데도 그렇단다. 사정을 얘기하고, 레포트같은 것으로 때우는 방법이 있다나. 나는 이거 대학이 어째 이상하다며 놀리기도 하는데, 아무튼 그렇다. 학생들의 질이 그렇게 높지 않을 것임은 이런저런 얘기들에서 추측해볼 수 있는바, 엄마도 가끔 답답한 마음에 같은 교실에 있는 어린 학생들에게, 어떻게 이렇게 나이를 먹은 사람보다도 못하냐면서 꾸중을 하신다지만, 아마도 애초에 공부와는 별로 상관없는 아이들이 많이 들어온 탓일터. 교육이 아니라 사업을 하는 곳이라는 생각이 먼저 강하게 드는 것이 사실인데, 이 학교가 교육에 있어서 그래도 어떤 긍정적인 역할을 수행하고 있는 것일지 궁금하여, 얼마전 대화중에 한번 질문을 해보았다. 이 학교가 어떤 긍정적인 기능을 수행하는 바가 있으며 정말로 필요성이 있는 것 같냐고 슬쩍 물어보면 엄마의 대답은 꽤나 단호하게 ‘이 학교는 없어져도(야?) 돼’ 라고… 늦은 나이에 재밌게 다니는 대학이라 했지만, 대학에 대한 평가는 그랬다. 대학들이 너무 많아 학생들 모집에 경쟁이 치열하다지만, 사람들은 그래도 이 학교가 당장 망할 것이라고 보지는 않는다는데, 그 이유는 이 학교가 수도권에서 아주 멀지 않은 거리에 있기 때문이란다. 아침마다 서울에서 수십대의 관광버스를 타고 올 학생들이 있기 때문에. 서울에서 멀지 않은 거리에 있다는 것이 바로 이 학교의 경쟁력인 셈이다. 기꺼이 대학졸업장을 구매할 용의가 있는 학생들도 충분하고. 우스개소리하며 농담처럼 나눌수 있는 대화였지만, 그 속에 비춰지고 있는 한국 사회의 다양한 병리현상들은 하나도 우스운 것들이 아니다. 이 꼬인 실타래들을 풀기 위하여 뭘 해야할 것인지, 누가 이에 답할 것인지 생각하면 가슴이 답답해진다. 통계물리 책(Statistical Physics I: Equilibrium Statistical Mechanics, Ryogo Kubo , Nobuhiko Saito, M. Toda, N. Saito)을 뒤적이다 재미있는 식을 발견하여 적어본다. N개의 입자가 있고, 에너지의 단위를 다음과 같이 보존 시스템과 페르미온 시스템 사이에 일대일대응을 만들 수 있다. 보존 시스템의 각 입자의 에너지가
이제 분배함수를 생각해 보자. 보존의 경우 전체 에너지는 페르미온의 경우 전체 에너지는 따라서 N개의 입자가 있는 보존 시스템의 분배함수는 페르미온 시스템의 분배함수는 바로 위의 낯익은 표현이 책에서 발견하고 재밌다고 여긴 부분이었다. 이 페르미온 시스템의 큰 분배함수(grand partition function)는 그런데 여기서 우변처럼 주어지는 함수를 수학에서는 q-초기하급수(q-hypergeometric series 또는 basic hypergeometric series) 라고 부른다. q-초기하급수(q-hypergeometric series) 항목 참조 그리고 이 분야에서 오일러는 다음과 같은 공식을 남긴 바가 있다.
정확히 위에 등장하는 녀석이다.
통계물리책에도 큰 분배함수를 무한곱으로 표현할 수 있다는 언급이 나오는데, 책의 흐름상 꼭 필요한 것은 아니겠지만 이것이 q-초기하급수라던가 오일러의 공식이라는 것을 언급하지는 않는다. 아마 책을 쓴 사람들이 눈치채지 못한게 아닌가 싶다.
아무튼 흥미로운 발견이었다. 기존의 글들을 취합하고, 약간 정리했다. 아직도 그냥 메모 수준에서 많이 벗어나지는 않았지만, 대강 알아볼 수는 있는 수준일 것 같다. 사실 나는 지금 사람들에게 뭔가 와닿고 있는 이야기를 하고 있는 건지 아닌지 걱정이 든다. 그리고 이 작업에 대하여 회의감도 느끼고 있다. 사실은 나도 뭘 말해야 하는건지 정확히 모르기 때문이기도 할 것이다. 좀 이상한 말이지만 내가 뭔 소리를 하고 있는건지 감이 잡히는 분들은 코멘트를 부탁드리는 바이다. 새로운 담론 생성/유통 방식의 필요성나는 싸움의 새로운 방식에 대하여 고민해 보았다. 우리는 앞으로 무슨 무기를 가지고 어떻게 싸울 것인가. 수많은 영향력있는 정치담론들이 생성되는 방식이 작두타는 무당식이 현재의 상황이라면, 앞으로 여기에 좀더 과학적인 성격을 도입하는 것에 비유하고 싶다. 선거머신을 넘어서지금의 정치는 빠르게 변화하는 현실에 대응하는 속도도 중요하고, 그것을 뒷받침해줄 수 있는 지적역량, 그리고 집단의 역량을 최대치로 끌어내는 문제가 매우 중요하다는 것을 말하고 싶다. 지금까지 한국의 정당은 기본적으로 선거머신이므로, 리서치 역량에는 관심이 없었다. 그러나 신당에는 이러한 구조가 그 핵심에 있어야 한다고 본다. 현실의 문제들은 엄밀한 학문이 답하는 것보다 더 빠르게 생겨나며 변화한다. 우리는 이 속도를 어떻게 따라잡을 수 있을 것인가. 더군다나 한국의 학문은 자신들의 문제에 뿌리박고 자라나는 것이 아니라, 지식의 수입상 역할에 여전히 머무르고 있다. 정당이 이러한 현실에 대하여 좀더 능동적으로 대응하고, 자극을 주고, 변화를 끌어올 수 있는 방법은 없을 것인가? 정치는 우리의 삶에서 뛰어난 지식과 지혜들이 모두 결집하여 실력을 겨뤄야 하는 가장 중요한 무대의 하나이다. 한국정치도 이제 리서치 역량과 지식관리능력을 어떻게 극대화할 것인가에 대한 고민들이 필요하다. 시스템의 변화 필요성지금 신당의 게시판에는 정책에 대한 제안들이 쏟아지고 있다. 눈에 띄는 문제점들을 좀 언급해 볼까 한다. 지금 상태로는 다양한 제안들이 중복되는 것은 아닌지 판단할 길이 없다. 다른 사람들이 같은 주제에 대하여 한 기존의 제안에 대한 검토가 사실상 불가능하므로, 집단지성의 장점이란 도무지 찾을 수 없다고 봐야할 것이다. 시간이 지나면 지나는대로 그대로 묻혀 버린다. 그 성격이 부분적인 것이라 할지라도 이미 생성되고 논의된 것들의 어떤 재활용의 가능성을 찾기 어렵다. 누군가가 이제까지 그 아이디어가 얼마나 더 확장되고 진전되었는지 검토하고 판단하기가 불가능이다. 일정 시간이 경과하면 수많은 사항들이 이전에 이미 논의되었을지라도 아무것도 없던 것처럼 다시 시작된다. 게시판을 보니, 제안을 당의 해당위원회로 넘긴다는 답변이 올라오던데, 그 ‘위원회’라는 것이 도대체 어떻게 일을 하고 있으며 그 역량이 얼마나 되는 것인가 알 길도 없다. 제안이 한번 되면, 덧글 몇 개 달린 다음에는 어딘가 다음 논의구조로 넘어가 버린다는 것인데, 이 과정에서 과연 사람들의 지식을 어떻게 모으고 활용할 수 있을지도 의문이다. 이미 십년도 더된 게시판 시스템보다 나은 점이 있는지, 그 동안 쌓인 기술의 진화를 충분히 반영하고 있는 것인지 생각해봐야 한다. 시스템의 구조에 대한 검토가 필요하다. 어떠한 철학에 기반할 것인가?주장에는 반드시 근거를 제시하며, 객관적이며 검증가능한 근거는 더 선호된다. 그리고 찬반의 주장과 논리들은 반드시 균형있게 검토되어야 한다. 한편 지식의 업데이트는 신속하고 유연해야 한다. 이 둘은 약간 상충되는 성격이 있지만, 최대한 조화롭게 맞물려야 한다. 그리고 새로운 정보가 얻어지거나 상황의 변화가 있을 경우 기존의 판단은 다시 검토되어야 한다. 많은 사람들의 지식을 효율적으로 공유하고 전달하며, 이러한 전달과정에 있어서도 끊임없이 계속 그 진위가 검토되어야 한다. 정당의 지식관리시스템이 달성해야 할 목표들한국사회는 너무나도 큰 이슈들이 제대로 논의도 되기 전에 다른 이슈들로 넘어가기 때문에 제대로 해답이 찾아지는 경우가 거의 없고, 모두 그 순간 봉합하는 것으로 순간을 모면하는 방식이 지배적이다. 그렇기에 중장기적인 제도의 개선과 오랜 탐구가 필요한 문제들에 대한 답이 찾아지질 않는다. 짧은 순간의 단일한 이슈에 너무나도 단순하게 지배되는 사회이다. 이에 대한 저항이 필요하다. 또한 자신의 귀한 경험에 대한 진실한 기록의 문화가 너무나도 빈약하다. 특히나 정치분야는 그 노하우가 오로지 사람을 통해서만 전수되고 있다. 이것은 매우 바람직하지 않다. 특출한 인물이 없을 경우, 조직 전체가 와해되는 경우가 많다. 개선해야 한다. 정치에도 학습, 교육, 훈련 같은 것이 완전하진 않아도 가능할 것이다. 정당은 이러한 문제들에 대하여 대응할 수 있는 시스템을 구축해야 한다. 다음과 같은 사항들을 목표로 들어볼 수 있을 것이다 .
지식관리시스템이 갖춰야 할 사항들하나의 사안사안마다에는 그 배경·역사·갈등하는 논리 등이 있다. 신문기사 하나도 제대로 이해하고 나름대로의 시각을 갖기 위해서는 이야기의 대강의 전개와 흐름을 알아야 한다. 나는 당원들의 지혜를 모으고 또 나누는 효율적인 방법으로 사안하나에 항목하나를 두는 끊임없이 변화하는 사전의 제작을 제안해본다. 각 항목의 구성요소는 다음과 같은 것들이다 : 개요, 현실, 찬반논리, 역사, 관련된 항목들, 사전, 관련링크, 관련기사, 관련법률과 판례, 관련논문과 보고서, 관련도서, 관련통계 등등 이러한 중추가 되는 지식관리시스템을 핵심적인 기반으로 둔 상태에서, 순발력있는 담론생산을 모색해야 할 것이다. 지식관리시스템에서 어떤 효과들을 기대할 것인가당원들의 효율적인 학습에 큰 도움이 될 것이다. 논객들에게는 훌륭한 참고자료를 제공해 줄 수 있다. 유연한 업데이트를 통하여 사람들이 과거부터 현재까지의 상황을 빠르게 이해하고, 논의의 최전선으로 끌어주어, 효율적인 토론을 유도할 수도 있게 될 것이다. 좋은 기억창고가 될 수도 있다고 생각한다. 적당한 의사결정과정을 거친다면 분야마다 문제마다 매우 세부적이고 구체적인 당론을 만드는데 좋은 방법이 될 수 있을 것이다. 그리고 부수적으로 언론인 평가와 관련된 것인데, 만약에 이런식으로 함께 만들어가는 사전을 갖출수 있다면, 그 사전을 통하여 우리가 좋은 지식을 얻고 그 참고자료로 쓸 수 있는 기사를 작성한 기자에게 일정한 인용지수를 주는 시스템같은 것을 도입할 수 있을 것이다. 연구자들이 논문 인용지수같은 것을 가지는 것과 마찬가지로 기자를 평가하는 일종의 인용지수를 도입해 볼 수 있을 것이다. 이것은 얼마나 현실적이며 효율적일지 모르겠으나, 하나의 아이디어로서는 가치가 있을수 있으므로, 실험해볼 가치가 있다. 기사 하나를 가지고 욕하는 것보다는 훨씬 더 객관적인 구조를 갖출 수 있을 것이다. 기자들의 입장에서 좀더 충실한 정보를 담은 좋은 기사를 쓸 인센티브를 제공할 수 있어야 할 것이다. 누가 참여해야 하는가일반 당원부터, 당직자, 기초의원, 지방의회, 광역의회, 국회의원까지 모두 참여해야 한다. 보통의 시민들이 마주치는 다양한 일상에서의 문제점부터, 정치인들이 정치현장에서 느끼는 구체적인 문제들까지 모두 체계화하고 관리할 수 있어야 한다. 덧붙임(예전에 작성됨) : 작업의 성격과 작업방식http://pythagoras2.springnote.com/pages/3780475 스프링노트의 시민민주주의를 위한 정치개혁 연구에서 진행되는 작업의 성격과 작업방식을 얘기해보려 합니다. 다음은 예전에 “이제 당신 차례요 미스터 브라운 – 영국 노동당이 다시 이기는 길“ (앤소니 기든스 지음 | 김연각 옮김,인간사랑, 2007-09-20) 를 읽던 중 인상깊었던 구절이다.
삼단논법에 기초한 딱 부러지는 논리적 사고도 중요하겠지만, 진리를 독점하지 않으려는 유연한 사고도 역시 필요하다. 직선으로만 가려면 주변을 못본다. 생각에 여백을 두자. |
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